AcWing 1124. 骑马修栅栏
\(AcWing\) \(1124\). 骑马修栅栏
一、题目描述
农民\(John\)每年有很多栅栏要修理。
他总是骑着马穿过每一个栅栏并修复它破损的地方。
\(John\)是一个与其他农民一样懒的人。
他讨厌骑马，因此 从来不两次经过一个栅栏(一笔画)。
你必须编一个程序，读入栅栏网络的描述，并计算出一条修栅栏的路径，使每个栅栏都恰好被经过一次。
\(John\)能从任何一个顶点(即两个栅栏的交点)开始骑马，在任意一个顶点结束(无向图求欧拉路径)。
每一个栅栏连接两个顶点，顶点用 \(1\) 到 \(500\) 标号(虽然有的农场并没有 \(500\) 个顶点)。
一个顶点上可连接任意多( \(≥1\) )个栅栏。
所有栅栏 都是连通(不用判连通性) 的(也就是你可以从任意一个栅栏到达另外的所有栅栏)。
你的程序必须输出骑马的路径(用路上依次经过的顶点号码表示)。
我们如果把输出的路径看成是一个\(500\)进制的数，那么当存在多组解的情况下，输出\(500\)进制表示法中 最小 的一个 (也就是输出第一个数较小的，如果还有多组解，输出第二个数较小的，等等, 就说是字典序就完了)。
输入数据保证至少有一个解。
输入格式
第 \(1\) 行:一个整数 \(F\)，表示栅栏的数目;
第 \(2\) 到 \(F+1\) 行:每行两个整数 \(i,j\) 表示这条栅栏连接 \(i\) 与 \(j\) 号顶点。
输出格式
输出应当有 \(F+1\) 行，每行一个整数，依次表示路径经过的顶点号。
注意数据可能有多组解，但是只有上面题目要求的那一组解是认为正确的。
数据范围
\(1≤F≤1024,1≤i,j≤500\)
输入样例：
9
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5
2 5
5 6
5 7
4 6
输出样例：
1
2
3
4
2
5
4
6
5
7
二、解题思路
- 稠密图，小图，可以用邻接矩阵存储，使用邻接矩阵存储，删边求欧拉路径时方便快捷
- 要求输出 最小字典序，我们需要保证由 小点出发，一路上从小枚举到大
- 无向图求欧拉路径的模板
步骤：
- 无向图：存在欧拉路径则所有点（除起点和终点）都是偶数点；欧拉回路：起点和终点也是偶数点
- 先找一个有边的点，再看看有没有奇数点
- 因为数据保证一定存在欧拉路径，所以如果不存在奇数点，则一定是欧拉回路
\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510, M = N * N;
int n = 500, m; // n个点，m条边
int g[N][N]; // 邻接矩阵存图
int ans[M], cnt; // 路径
int d[N]; // 度
void dfs(int u) {
// 因为最后的欧拉路径的序列是ans数组逆序，
// 节点u只有在遍历完所有边之后最后才会加到ans数组里面，所以逆序过来就是最小的字典序
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (g[u][i]) {
// 删边优化
g[u][i]--, g[i][u]--;
dfs(i);
}
ans[++cnt] = u;
}
int main() {
scanf("%d", &m);
while (m--) {
int a, b;
scanf("%d %d", &a, &b);
g[a][b]++, g[b][a]++; // 无向边，可记录重边
d[a]++, d[b]++; // 记录度
}
// 找起点
int u = 0;
// ① 从小到大，找到度为奇数的点，在无向图中，度为奇数的点，视为起点
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (d[i] & 1) {
u = i;
break;
}
// ② 如果没有找到度为奇数的点，可能就是一个环，也就是欧拉回路
if (!u)
while (!d[u]) u++;
dfs(u);
for (int i = cnt; i; i--) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}
