AcWing 1124. 骑马修栅栏

$AcWing$ $1124$. 骑马修栅栏

一、题目描述

农民$John$每年有很多栅栏要修理。

他总是骑着马穿过每一个栅栏并修复它破损的地方。

$John$是一个与其他农民一样懒的人。

他讨厌骑马，因此 从来不两次经过一个栅栏(一笔画)。

你必须编一个程序，读入栅栏网络的描述，并计算出一条修栅栏的路径，使每个栅栏都恰好被经过一次。

$John$能从任何一个顶点(即两个栅栏的交点)开始骑马，在任意一个顶点结束(无向图求欧拉路径)。

每一个栅栏连接两个顶点，顶点用 $1$ 到 $500$ 标号(虽然有的农场并没有 $500$ 个顶点)。

一个顶点上可连接任意多( $≥1$ )个栅栏。

所有栅栏 都是连通(不用判连通性) 的(也就是你可以从任意一个栅栏到达另外的所有栅栏)。

你的程序必须输出骑马的路径(用路上依次经过的顶点号码表示)。

我们如果把输出的路径看成是一个$500$进制的数，那么当存在多组解的情况下，输出$500$进制表示法中 最小 的一个 (也就是输出第一个数较小的，如果还有多组解，输出第二个数较小的，等等, 就说是字典序就完了)。

输入数据保证至少有一个解。

输入格式
第 $1$ 行:一个整数 $F$，表示栅栏的数目;

第 $2$ 到 $F+1$ 行:每行两个整数 $i,j$ 表示这条栅栏连接 $i$ 与 $j$ 号顶点。

输出格式
输出应当有 $F+1$ 行，每行一个整数，依次表示路径经过的顶点号。

注意数据可能有多组解，但是只有上面题目要求的那一组解是认为正确的。

数据范围
$1≤F≤1024,1≤i,j≤500$

输入样例：

9
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5
2 5
5 6
5 7
4 6

输出样例：

1
2
3
4
2
5
4
6
5
7

二、解题思路

• 稠密图，小图，可以用邻接矩阵存储，使用邻接矩阵存储，删边求欧拉路径时方便快捷
• 要求输出 最小字典序，我们需要保证由 小点出发，一路上从小枚举到大
• 无向图求欧拉路径的模板

步骤：

• 无向图：存在欧拉路径则所有点（除起点和终点）都是偶数点；欧拉回路：起点和终点也是偶数点
• 先找一个有边的点，再看看有没有奇数点
• 因为数据保证一定存在欧拉路径，所以如果不存在奇数点，则一定是欧拉回路

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510, M = N * N;

int n = 500, m;  // n个点，m条边
int g[N][N];     // 邻接矩阵存图
int ans[M], cnt; // 路径
int d[N];        // 度

void dfs(int u) {
    // 因为最后的欧拉路径的序列是ans数组逆序，
    // 节点u只有在遍历完所有边之后最后才会加到ans数组里面，所以逆序过来就是最小的字典序
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (g[u][i]) {
            // 删边优化
            g[u][i]--, g[i][u]--;
            dfs(i);
        }
    ans[++cnt] = u;
}

int main() {
    scanf("%d", &m);
    while (m--) {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);
        g[a][b]++, g[b][a]++; // 无向边，可记录重边
        d[a]++, d[b]++;       // 记录度
    }

    // 找起点
    int u = 0;
    // ① 从小到大，找到度为奇数的点，在无向图中，度为奇数的点，视为起点
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (d[i] & 1) {
            u = i;
            break;
        }

    // ② 如果没有找到度为奇数的点，可能就是一个环，也就是欧拉回路
    if (!u)
        while (!d[u]) u++;

    dfs(u);

    for (int i = cnt; i; i--) printf("%d\n", ans[i]);

    return 0;
}