AcWing 378. 骑士放置
\(AcWing\) \(378\). 骑士放置
一、题目描述
给定一个 \(N×M\) 的棋盘，有一些格子禁止放棋子。
问棋盘上最多能放多少个不能互相攻击的骑士（国际象棋的“ 骑士 ”，类似于中国象棋的“ 马 ”，按照“ 日 ”字攻击，但没有中国象棋“ 别马腿 ”的规则）。
输入格式
第一行包含三个整数 \(N,M,T\)，其中 \(T\) 表示禁止放置的格子的数量。
接下来 \(T\) 行每行包含两个整数 \(x\) 和 \(y\)，表示位于第 \(x\) 行第 \(y\) 列的格子禁止放置，行列数从 \(1\) 开始。
输出格式
输出一个整数表示结果。
数据范围
\(1≤N,M≤100\)
输入样例：
2 3 0
输出样例：
4
二、解题思路
前置知识
图论基础之二分图中 最小覆盖问题 的求解思路
最大独立集
「图的最大独立集」：从图中选出「最多」的点，使得「选出的点中 任意两点之间没有边」。
「图的最大团」：从图中选出「最多」的点，使得「选出的 任意两点之间都有边」。
根据定义，我们也能发现，这两个概念是「互补」的。「补图」：就是把原图中所有边拆开，所有未连接的边连上。
那么，「原图中的最大独立集就是补图中的最大团」。
二分图中求最大独立集
（前提条件是必须「在二分图中」下面的性质才能成立！！！）
首先，明确目标是「我们要选出最多的点，使得选出点中，任意两点之间是没有边的」，等价于是「选出最少的点，假如消除这些点，会使图中不存在任何一条边，我们把这些点去掉，剩下的就构成了最大独立集」。
这里有点脑筋急转弯，当我们「把 二分图中 所有能构成边的点 去掉，那么剩下的点 就一定没法 再构成任何一条边」，而我们的目标是让「剩下的点最多」，那么「去掉的点就应该最少」。
而「选出最少的点，使这些点能构成所有的边」，其实就是我们前置文章中的概念「最小覆盖点集」。并且在前置文章中，我们已经知道「在二分图中，最小覆盖点集就等价于最大匹配数量」。
因此，我们就得出了「二分图中最大独立点集」的求法：「只需要求出最大匹配，然后用总点数减去最大匹配数」即可。
进而，我们发现「如果把格子按照坐标进行 奇偶 划分为两个集合，那么能连边的两个点一定在不同集合，所以整个棋盘会形成一个 二分图」。
根据上述模型，我们可以把题目的问题「最多可以放多少个不能互相攻击的棋子」变成「棋盘上最多可以有多少个棋子之间没有边」，也就是求「最大独立集」。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100 * 100 + 10, M = 8 * N; // 注意点的数量,每个点最多8个方向
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
// 棋盘专用dx8
int dx[] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};
int dy[] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
int n, m, k;
int g[110][110]; // 禁止放置的位置
// 匈牙利算法专用数组
int match[N], st[N];
int dfs(int u) {
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (!st[v]) {
st[v] = 1;
if (!match[v] || dfs(match[v])) {
match[v] = u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("378.in", "r", stdin);
#endif
// 初始化链式前向星
memset(h, -1, sizeof h);
scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
// 不可以放置的位置记录
for (int i = 1; i <= k; i++) {
int x, y;
scanf("%d %d", &x, &y);
g[x][y] = 1;
}
// 使用链式前向星建图
vector<int> vec;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if ((i + j) % 2 && !g[i][j]) { // 横纵坐标和为奇数，并且，此位置没有被禁止
int id = (i - 1) * m + j;
vec.push_back(id);
for (int k = 0; k < 8; k++) { // 8个方向建边
int tx = i + dx[k], ty = j + dy[k];
int tid = (tx - 1) * m + ty;
if (tx < 1 || tx > n || ty < 1 || ty > m) continue; // 出界不要
if (g[tx][ty]) continue; // 被禁止不行
add(id, tid); // 建边,注意一下二维坐标与点号的映射关系。同时，由于正反都可以创建，这里就不用一次建两条
}
}
}
int res = 0;
for (auto id : vec) {
memset(st, 0, sizeof st);
if (dfs(id)) res++; // 开始跑匈牙利算法
}
// 最大独立集 n-无法放的点-最大匹配数
printf("%d\n", n * m - k - res);
return 0;
}
