AcWing 396 矿场搭建
\(AcWing\) \(396\) 矿场搭建
一、题目描述
煤矿工地可以看成是由 隧道 连接 挖煤点 组成的 无向图。
为安全起见，希望在工地发生事故时 所有挖煤点的工人都能有一条出路逃到 救援出口处
于是矿主决定在 某些挖煤点 设立 救援出口，使得无论哪一个挖煤点坍塌之后，其他挖煤点的工人都有一条道路通向救援出口。
请写一个程序，用来计算 至少 需要设置几个救援出口，以及不同最少救援出口的设置方案总数。
输入格式
输入文件有若干组数据，每组数据的第一行是一个正整数 \(N\)，表示工地的隧道数。
接下来的 \(N\) 行每行是用空格隔开的两个整数 \(S\) 和 \(T\)，表示挖煤点 \(S\) 与挖煤点 \(T\) 由隧道直接连接。
注意，每组数据的挖煤点的编号为 \(1\)∼\(Max\)，其中 \(Max\) 表示由隧道连接的挖煤点中，编号最大的挖煤点的编号，可能存在没有被隧道连接的挖煤点。
输入数据以 \(0\) 结尾。
输出格式
每组数据输出结果占一行。
其中第 \(i\) 行以 \(Case\) \(i\): 开始（注意大小写，\(Case\) 与 \(i\) 之间有空格，\(i\) 与 : 之间无空格，: 之后有空格）。
其后是用空格隔开的两个正整数，第一个正整数表示对于第 \(i\) 组输入数据至少需要设置几个救援出口，第二个正整数表示对于第 \(i\) 组输入数据不同最少救援出口的设置方案总数。
输入数据保证答案小于 \(264\)，输出格式参照以下输入输出样例。
数据范围
\(1≤N≤500，1≤Max≤1000\)
输入样例：
9
1 3
4 1
3 5
1 2
2 6
1 5
6 3
1 6
3 2
6
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
0
输出样例：
Case 1: 2 4
Case 2: 4 1
二、题解
1、加法原理 与 乘法原理
首先，这个无向图不一定是连通的，所以可以把它分成若干个 连通块 来讨论，对于每个连通块，标记数最少直接 累加 (加法原理)，方案数用 乘法原理
2、点双与割点
以测试用例画一张图，标识出点双连通分量绿色和紫色两个区域，其中，点\(1\)是割点。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 1010;
int n, m;
int dfn[N], low[N], stk[N], ts, top, root;
int bcnt;
vector<int> bcc[N];
bool cut[N];
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
void tarjan(int u, int fa) {
low[u] = dfn[u] = ++ts;
stk[++top] = u;
int son = 0;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (v == fa) continue;
if (!dfn[v]) {
son++;
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if (low[v] >= dfn[u]) {
int x;
if (u != root || son > 1) cut[u] = 1;
bcnt++;
do {
x = stk[top--];
bcc[bcnt].push_back(x);
} while (x != v);
bcc[bcnt].push_back(u);
}
} else
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if (fa == -1 && son == 0) bcc[++bcnt].push_back(u);
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("396_Prepare.in", "r", stdin);
#endif
memset(h, -1, sizeof h);
scanf("%d", &m);
while (m--) {
int a, b;
scanf("%d %d", &a, &b);
n = max(n, a), n = max(n, b); // 鄙视一下~
if (a != b) add(a, b), add(b, a);
}
for (root = 1; root <= n; root++)
if (!dfn[root]) tarjan(root, -1);
cout << "点双个数：" << bcnt << endl;
for (int i = 1; i <= bcnt; i++) {
cout << "点双编号:" << i << ", 内部节点：";
for (int j = 0; j < bcc[i].size(); j++)
cout << bcc[i][j] << " ";
cout << endl;
}
return 0;
}
3、思路
很显然能够联想到 点双，我们考虑一个点双里面的 割点数量：
-
① \(0\)个时 说明这个点双与其他的点双之间没有联系，那么这个点双内部至少要建两个救援出口，因为是点双，所以建在哪里都可以，不能只建一个，因为如果恰好是那个点塌了就完了。当然，如果此点双是特殊的点双，也就是 只有一个节点 的情况，那么需要建一个。
-
② \(1\)个时 说明这个点双与另一个点双之间有联系，那么这个点双里面就只需要建一个救援出口，如果这个出口塌了，剩下的点也可以去另一个点双里面找救援出口，如果那个割点塌了，那么这个点双内的点去这个点双里面的救援出口就好了。
-
③ 大于等于\(2\)个时 无论哪一个点塌了，这个点双里面的点都可以去其他点双里面找救援出口，所以这个点双里面不需要建救援出口。
注意:不能在割点上建救援出口，这样一下子就断了两个方向来源的路线，在这创建救援出口不是傻吗？
4、总结
- 无割点,与其它连通块彼此独立
-
① 点双中点的数量为\(1\)
放\(1\)个出口,方案数 \(*= 1\) 注： 题目中数据似乎没有特意卡这个~ -
② 点双中点的数量大于\(1\)
放\(2\)个出口,方案数 \(*= C_{cnt}^{2} = cnt*(cnt-1)/2\)
-
- 割点数量\(=1\)
放\(1\)个出口,方案数 \(*= C_{cnt-1}^{1} = cnt-1\) (不包含割点) - 割点数量\(=2\)
放\(0\)个出口,方案数 \(*= 1\)
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1010, M = N << 2;
int n, m;
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
/*
1. 用tarjan跑出所有的v_bcc和 原图中哪些点是割点
2. 遍历每个v_bcc(点双),考查点双里的割点个数：
(1). 若此点双内包含的割点数>1，则无论哪一个节点被毁，连通性依旧,不用处理。贡献为0
(2). 若此点双内包含的割点数=1，则在分量内任意一点建一个(割点处不用建)，一旦分量内建立好的救援出口被毁，
可以通过割点跑到相临的分量中，走别人的救援出口，ans*=bcc.size()-1。贡献为1
(3). 若此点双内包含的割点数=0，则任建两个，ans=bcc.size()(bcc.size()-1)/2。贡献为2
*/
int dfn[N], low[N], stk[N], ts, top, root;
int bcnt;
vector<int> bcc[N]; // 双连通分量
bool cut[N]; // 记录割点的桶,割点可能会重复，所以用桶来记录，最后用循环来统计
void tarjan(int u, int fa) {
low[u] = dfn[u] = ++ts;
stk[++top] = u;
int son = 0; // 求割点时，需要记录点双中节点的数量，用于判断是不是单个节点组成的
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (v == fa) continue;
if (!dfn[v]) {
son++;
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
// 总结：需要孩子仔细理解原理，能清晰的讲解原理，并默写画出原理图，才能把代码写明白，不能靠简单的背代码，会记不住的
// 原理 : https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16091406.html
if (low[v] >= dfn[u]) {
int x;
// 记录割点
if (u != root) cut[u] = 1;
if (u == root && son >= 2) cut[u] = 1; // 如果u是根节点，但是它至少有两个子节点：则u是割点
// 如果u是根，并且有1个子节点，那么去掉u后，剩下的那个节点还是双点，所以，u不是割点
// 记录点双中节点有哪些
bcnt++;
do {
x = stk[top--];
bcc[bcnt].push_back(x);
} while (x != v); // 将子树出栈
bcc[bcnt].push_back(u); // 把割点/树根也丢到点双里
}
} else
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
// 因为上面枚举的是边，如果是一个孤立的根，是没有边的，上面的代码不会执行，但它确实是一个点双
if (u == root && son == 0) bcc[++bcnt].push_back(u);
}
int main() {
int T = 1;
while (scanf("%d", &m), m) {
// 每次清除上次记录的bcnt连通块中点的向量数组
for (int i = 1; i <= bcnt; i++) bcc[i].clear();
// n:这题太讨厌了，n居然让我们自己取max计算出来，shit~
idx = n = ts = top = bcnt = 0;
memset(h, -1, sizeof h); // 初始化链式前向星
memset(dfn, 0, sizeof dfn); // 每个节点的dfs序时间戳
memset(low, 0, sizeof low);
memset(stk, 0, sizeof stk); // 栈
memset(cut, 0, sizeof cut); // 清空割点数组
while (m--) {
int a, b;
scanf("%d %d", &a, &b);
n = max(n, a), n = max(n, b); // 鄙视一下~
if (a != b) add(a, b), add(b, a);
}
for (root = 1; root <= n; root++)
if (!dfn[root]) tarjan(root, -1); // 以root为根开始找出 割点 和 点双
int res = 0; // 增加的救援出口个数
LL num = 1; // 增加的救援出口方案数
for (int i = 1; i <= bcnt; i++) { // 枚举每个点双
int cnt = 0; // 此点双中割点的数量
for (int j = 0; j < bcc[i].size(); j++) // 枚举点双中每个点，通过cut这个桶判断是不是割点
if (cut[bcc[i][j]]) cnt++;
if (cnt == 0) { // 如果没有割点
// 如果点双中点的数量大于1，救援出口需要在bcc[i].size()中选择两个,一个坏了还可以走另一个
if (bcc[i].size() > 1)
res += 2, num *= bcc[i].size() * (bcc[i].size() - 1) / 2;
else
// 如果点双中点的数量等于1,孤立的点，那么必须单独设立一个救援出口方案数量不用变化
res++;
} else if (cnt == 1) // 如果有一个割点
res++, num *= bcc[i].size() - 1; // 需要添加一个救援出口
// 如果有2个或以上的割点，就不用管了，因为一旦某个割点被毁，可以走另一个
}
printf("Case %d: %d %lld\n", T++, res, num); // 救援出口个数，方案数
}
return 0;
}
