AcWing 367. 学校网络
\(AcWing\) \(367\). 学校网络
一、题目描述
一些学校连接在一个计算机网络上，学校之间存在软件支援协议，每个学校都有它应支援的学校名单（学校 \(A\) 支援学校 \(B\)，并不表示学校 \(B\) 一定要支援学校 \(A\)）。
当某校获得一个新软件时，无论是直接获得还是通过网络获得，该校都应立即将这个软件通过网络传送给它应支援的学校。
因此，一个新软件若想让所有学校都能使用，只需将其提供给一些学校即可。
现在请问 最少 需要将一个新软件直接提供给多少个学校，才能使软件能够通过网络被传送到所有学校？
最少 需要 添加几条新的支援关系，使得将一个新软件提供给任何一个学校，其他所有学校就都可以通过网络获得该软件？
输入格式
第 \(1\) 行包含整数 \(N\)，表示学校数量。
第 \(2..N+1\) 行，每行包含一个或多个整数，第 \(i+1\) 行表示学校 \(i\) 应该支援的学校名单，每行最后都有一个 \(0\) 表示名单结束（只有一个 \(0\) 即表示该学校没有需要支援的学校）。
输出格式
输出两个问题的结果，每个结果占一行。
数据范围
\(2≤N≤100\)
输入样例：
5
2 4 3 0
4 5 0
0
0
1 0
输出样例：
1
2
二、题目分析
本题唯一的难点在于结论的推导，推导出结论后直接调用\(Tarjan\)算法的模板即可解决问题。
首先，至少要将新软件提供给多少个学校，才能保证所有的学校都获得软件。
对于普通的\(DAG\)而言，只需要将新软件提供给所有入度为\(0\)的节点，就可以保证所有的学校都获得新的软件。
如图所示，入度为\(0\)的节点有\(1\)和\(2\)，这意味着没有任何节点可以到达\(1\)和\(2\)节点，所以至少要提供\(2\)个新软件才能保证\(1\)和\(2\)都获得软件；同时\(DAG\)中任意一个入度不为\(0\)的节点都可以从某个入度为\(0\)的节点出发遍历到，正如树中的根节点一定可以达到树中的任意内部节点一样，所以只要将新软件提供给入度为\(0\)的节点，图中所有的节点都将获得新软件。
对于一般图而言，将原图采用\(Tarjan\)算法缩点后会形成新的\(DAG\)，只需要提供缩点后入度为\(0\)的节点的个数的新软件，就可以让所有的学校都获得软件。因为缩点后的\(SCC\)内部节点都是彼此可达的，\(SCC\)中一个节点能够获取软件。其他节点就也都可以获取到软件。
总而言之，至少需要提供缩点后入度为\(0\)的节点个数个新软件，就能够使得软件被传递到所有的学校。
第二个问题，至少需要添加几条支援关系，才能够使得将新软件提供给任意一个学校，所有学校都可以获取到该软件。
\(SCC\)中的节点是彼此可达的，因此我们只需要考虑缩点后的\(DAG\)中要添加几条有向边，才能够让图变成一个完整的\(SCC\)。
在之前的分析中，我们知道，任意一个出度为\(0\)的节点都可以通过某入度为\(0\)的节点到达，后面我们将入度为\(0\)的节点称为起点，出度为\(0\)的节点称为终点。也就是说，每一个终点，都可以由某个起点到达，所以只需要连接每个终点到他们对应的起点，那么起点能够到达的位置，该终点也可以到达，比如连接\(5\)到\(1\)，那么\(1\)原本可以到达的节点，\(5\)也都可以到达了，同时，由于\(5\)到\(1\)的连接，原图中的起点和终点都少了一个，如果再连接\(7\)到\(2\)，图中的起点和终点又都少了一个。现在图中只剩下一个出度为\(0\)的节点也就是\(6\)，将\(6\)连接到\(1\)，此时的图就变成了一个\(SCC\)，也就是出度和入度为\(0\)的节点消失了。
因此，我们可以从入度和出度的角度来看待该问题，假设图的初始状态有\(m\)个入度为\(0\)的节点和\(n\)个出度为\(0\)的节点，我们的目标是添加边将其转化为出度或者入度等于\(0\)节点的个数为\(0\)的一个强连通图。正如上面的例子那样，我们增加一条边，最多可以同时减去一个起点和一个终点，如果起点个数\(m < n\)，那么我们前\(m\)次消掉了\(m\)个起点和终点，后\(n\) - \(m\)次消掉了\(n - m\)个终点，也就是至少\(n\)次操作才能将原图转换为不存在出度或者入度是\(0\)节点的图；同理\(m > n\)时，至少要通过\(m\)次加边操作才能够实现目标。
不含有出度为\(0\)和入度为\(0\)的节点只是强连通图的一个充分条件而已，所以至少要\(max(m，n)\)次加边操作才能实现目的。
下面证明\(max(m，n)\)次操作可以将原图转化为强连通图，\(m > n\)时，我们每次连接一条终点到起点的边就可以消去一个入度为\(0\)的节点以及一个出度为\(0\)的节点，这里说的入度为\(0\)或者出度为\(0\)节点的个数即使是在加边缩点后依旧是减少的。所以\(n\)次操作之后只会留下\(m - n\)个起点，从原先任意一个终点连\(m - n\)条边到达剩下的起点，之后原图就会转化为一个强连通图；\(m < n\)的情况也是类似，所以，通过\(max(m, n)\)次加边操作可以实现目标。
综上所述，至少需要加\(max(m, n)\)条支援关系，才能够使得将新软件提供给任意一个学校，所有学校都可以获取到该软件。
有了上面的结论，我们只需要对原图做一遍\(Tarjan\)算法，统计下缩点后入度或者出度为\(0\)节点的个数即可得出答案。要注意的是，如果原图本身就是一个强连通图，也就是\(SCC\)数目为\(1\)时，不需要添加任何支援关系，都可以使得将新软件提供给任意一个学校，所有学校都可以获取到该软件。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110, M = 10010;
int n;
int dfn[N], low[N], ts;
int stk[N], top;
int in_stk[N];
int id[N], scc_cnt;
int din[N], dout[N];
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
// Tarjan算法求强连通分量
void tarjan(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++ts;
stk[++top] = u;
in_stk[u] = 1;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (!dfn[v]) {
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if (in_stk[v])
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if (dfn[u] == low[u]) {
++scc_cnt;
int x;
do {
x = stk[top--];
in_stk[x] = 0;
id[x] = scc_cnt;
} while (x != u);
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int c;
while (scanf("%d", &c), c) add(i, c); // i支援t
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
// 统计缩点后的DAG，此DAG中出度为0、入度为0的点的个数
for (int u = 1; u <= n; u++)
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
int a = id[u], b = id[v];
if (a != b)
dout[a]++, din[b]++;
}
int a = 0, b = 0;
for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++) {
if (!din[i]) a++; // 入度为0的强连通块
if (!dout[i]) b++; // 出度为0的强连通块
}
// 输出入度为0的连通块数量,也就是需要软件的数量
printf("%d\n", a);
if (scc_cnt == 1) // 如果只有一个强连通块，不用连边
puts("0");
else
printf("%d\n", max(a, b)); // 输出入度为0与出度为0的连通块最大值
return 0;
}
