基于最短路的差分约束模型

1. 差分约束的功能

• 求不等式组的可行解
• 求满足不等式组的每一个变量的最值

不等式组中每一个不等式形式如下：

$$x_i ≤ x_j + c_k$$

其中，$x_i$ 和 $x_j$ 是自变量， $c_k$是因变量。

我们可以类比一下之前的最短路问题，假设存在一条从 $j$走到 $i$，边权为 $c$的边。在进行最短路计算时，只要遇到 $dist[j] > dist[i] + c$，我们就将 $dist[j]$更新为 $dist[i] + c$。因此，当做完最短路之后，对于所有的 $j$，都有 $dist[j] ≤ dist[i] + c$。

如果给我们一个图，我们可以把每条边看成一个不等式，那么我们在这个图上求一遍起点到所有点的最短距离（注意从起点出发，一定能走到所有的边,因为如果走不到所有的点，就不可能完成求单源最短路的任务，就有个别点走不到嘛），求完之后每个边的不等式都是满足的。那么，任何一个最短路问题，都可以转换为一个不等式组。那么反过来也一样，一个不等式组也可以转换为一个最短路问题。
数缺形时少直观,形少数时难入微-华罗庚

因此，我们在解不等式组问题的时候，遇到一个不等关系，就将它处理成为 $x_i ≤ x_j + c_k$的格式，然后建立 $j → i$ 权值为 $c_k$的一条边。之后我们在这个图上，随便选择起点（该起点需要满足从该点出发，一定可以走遍所有的边,所以有时需要找一个超级源点,找不到一个可以能够到达所有点的起点，就没法按差分约束的方法来计算啦），求一下每个点到起点的最短距离，求完之后，所有的不等关系都会满足。

2.求不等式的可行解

综上所述，我们可以总结出差分约束求不等式可行解的做法：

源点需要满足的条件：从源点出发，一定可以走到所有边（某个点走不到没有关系，因为从数学的角度，某个点就是某一个变量，既然没有边与它相连，它就没有任何约束）。

步骤：
【1】先将每个不等式 $x_i ≤ x_j + c$ 转换成一条 $j → i$ 长度为 $c$ 的一条边
【2】找一个虚拟源点，使得该源点一定可以遍历到所有边
【3】从虚拟源点求一遍 单源最短路

注意：
并不是所有图都存在最短路，图中可能存在负环，如果存在负环对应到不等式中就是无解。

因此，建图完毕以后，做一次最短路，只有两个结果：

• 如果存在负环，那么该不等式组一定无解
• 如果不存在负环，则 $dist[i]$就是原不等式组中 $x_i$的一个可行解

3. 求满足不等式组中每一个变量的最值

只记结论： 如果求的是最小值，则应该求最长路；如果求的是最大值，则应该求最短路。为什么呢？
以求$x_i$的最大值为例：求所有从$x_i$出发，构成不等式链 $x_i ≤ x_j + c_1 ≤ x_k + c_2 + c_1 ≤ . . . ≤ c_1 + c_2 + . . . + c_k$，通过做最短路以后可以确定 $x_i$的一系列上界，最终 $x_i$的最大值就等于所有上界中的最小值。

最长路的建图方式和$2$节中最短路的建图方式一样，把不等式转换成 $x_i ≥ x_j + c$， 建立一条 $j → i$ 长度为 $c$ 的一条边（最短路只看$≤$，最长路只看$≥$）。

我们知道，如果不等式组中仅仅包含不同变量之间的大小关系，那么我们求出的可行解一定是一个包含变量的相对关系，它不存在一个极值的概念。

因此，一旦题目让我们求满足不等式关系的极值，那么一定会在不等式组中加入形如 $x_i ≤ c$ 或 $x_i ≥ c$ 这样的条件（小于还是大于看求最短路还是最长路），这样才能确定最后不等式组的边界，得到极值。那么，如何处理形如这种单变量常数关系呢？

【问题】如何转化形如 $x_i ≤ c$,其中 $c$是一个常数的这类关系？
答：建立一个虚拟源点 $0$，转换为 $x_i ≤ x_0 + c$，然后建立 $0 → i$，长度是 $c$的边。