AcWing 1170 排队布局
\(AcWing\) \(1170\) 排队布局
一、题目描述
当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。
农夫约翰有 \(N\) 头奶牛，编号从 \(1\) 到 \(N\)，沿一条直线站着等候喂食。
奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。
因为奶牛相当苗条，所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上。
如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。
一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离 不超过 一个给定的数 \(L\)。
另一方面，一些奶牛相互间非常反感，它们希望两者间的距离 不小于 一个给定的数 \(D\)。
给出 \(M_L\) 条关于两头奶牛间有好感的描述，再给出 \(M_D\) 条关于两头奶牛间存有反感的描述。
你的工作是：
- ① 如果不存在满足要求的方案，输出\(-1\)
- ② 如果 \(1\) 号奶牛和 \(N\) 号奶牛间的距离可以任意大，输出\(-2\)
- ③ 计算出在满足所有要求的情况下，\(1\) 号奶牛和 \(N\) 号奶牛间可能的 最大距离
输入格式
第一行包含三个整数 \(N\),\(M_L\),\(M_D\)。
接下来 \(M_L\) 行，每行包含三个正整数 \(A,B,L\)，表示奶牛 \(A\) 和奶牛 \(B\) 至多 相隔 \(L\) 的距离。
再接下来 \(M_D\) 行，每行包含三个正整数 \(A,B,D\)，表示奶牛 \(A\) 和奶牛 \(B\) 至少 相隔 \(D\) 的距离。
输出格式
输出一个整数，如果不存在满足要求的方案，输出\(-1\)；如果 \(1\) 号奶牛和 \(N\) 号奶牛间的距离可以任意大，输出\(-2\)；否则，输出在满足所有要求的情况下，\(1\) 号奶牛和 \(N\) 号奶牛间可能的 最大距离。
数据范围
\(2≤N≤1000,1≤M_L,M_D≤10^4,1≤L,D≤10^6\)
输入样例：
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3
输出样例：
27
二、题目解析
本题同样是 差分约束 的问题，要求\(1\)到\(n\)之间可能的 最大距离，这道题使我们更加深刻的理解了差分约束的思想。在\(AcWing\) \(1169\) 糖果 里，仔细的讲解了差分约束的基本思想，以及 不等式组
- 求最大解需要求最短路
- 求最小解需要求最长路
这里不等式解的最大最小都是相对而言的。比如\(a_2 <= a_1 + 1\),\(a_3 <= a_2 + 1\)，求最短路和最长路的建图如下图所示：
- 对于 最短路 而言，设起点\(a_1 = 0\)，求得\(a_2\)的最大值是\(1\)，\(a_3\)的最大值是\(2\)
- 对于 最长路 而言，设起点\(a_3 = 0\)，求得\(a_2\)的最小值是\(-1\)，\(a_1\)的最小值是\(-2\)
所以所谓的最值都是相对的，本题求\(1\)到\(n\)之间的 最大距离 很能够体现这种相对的关系。
下面梳理下 已知的结论：
- ① 对于同一个不等式组，最短路和最长路建图是完全不同的，边的大小互为相反数，方向相反
- ② 如果不等式组无解，即没有合法的一组解使得所有的不等式都成立，那么 建立的最短路图中一定存在负环，建立的最长路的图中一定存在正环。
- ③ 如果不等式组有解，最短路求得的是最大解，最长路求得的是最小解。
要求\(1\)到\(n\)之间的距离，不妨设\(1\)号点的坐标就是\(0\)，从\(0\)出发到达终点\(n\)，要想距离最大，则\(n\)号点的解就要最大，所以需要求 最短路。
当然如果将\(n\)的坐标设置为\(0\)，也可以通过求最长路来使得\(1\)到\(n\)之间的距离最大。
疑:这句话我没有理解上去，不明白为什么
本题的约束条件有三个，
\(a_{i-1} <= a_i\)
解释：农夫约翰有 \(N\) 头奶牛，编号从 \(1\) 到 \(N\)，沿一条直线站着等候喂食。
\(a_i - a_j <= L\)
解释:两者之间的距离 不超过 一个给定的数 \(L\)。
\(a_i - a_j >= D\)
解释:两者间的距离 不小于 一个给定的数 \(D\)。
暂且不去分析具体的约束条件，先讨论一个问题，什么情况下起点到终点的距离可以无限大。关于这个问题，很多博客仅仅给出了必要条件，比如说从起点到达不了终点，图中的两点间没有可达的路径，没有约束距离就无限大，但这仅仅是必要条件而非充分条件。比如下面的不等式组：
最短路建图如下：
从\(a_3\)是可以到达\(a_1\)的，图中没有孤立的点，\(a_3 = 0\)时，\(a_1\)就可以无限小，他们的距离就无限大。这个简单的例子可以看出，差分约束的不等式组对应的图如果没有环，起点和终点的距离是可以无限大的。
要想两点间距离有限，需要图中有一个适当的环，来约束解的范围。上图的不等式组可以推出\(a_1 <= a_3 - 2\)，那么我再加上一个不等式约束\(a_1 >= a_3 - 4\),，就成功的将\(a_1\)到\(a_3\)之间的距离限制在\(4\)个单位以内了。对应图中的表现不过是\(a_1\)到\(a_3\)连一条边权为\(4\)的边，我们分析此时环的长度\(4 - 1 - 1 = 2\)是大于\(0\)的。所以我们可以得出下面的结论：
- ① 最短路的图中如果存在负环，差分约束问题无合法解
- ② 最短路的图中如果存在正环，正环上任意两点间的距离都是有限的
- ③ 最短路的图中不存在环,图中任意两点间的距离都可以是无限大的
这个结论可以类比到最长路的图中。
换一种表达形式的话就是如果要图中的两点间距离有限，需要存在正环，且这两个点都在环上。
那么本题我们是否需要判断了负环还要判断正环呢？实际上是不需要的。
第一个约束条件\(a_i >= a_{i-1}\)，构建的最短路图中\(a_n\)可以到达\(a_{n-1}\),\(a_{n-1}\)可以到达\(a_{n-2}\),...。所以\(a_n\)可以到达每一点，包括\(a_1\)。我们先以\(a_n\)为起点，求一遍最短路，如果存在负环，则不等式组无解，如果不存在负环，那么不等式组肯定有解，下面要判断的就是\(a_n - a_1\)的结果是否可以无限大。在确定了不等式组有解的情况下，我们以\(a_1\)为起点再求一遍最短路，当然\(a_1\)不一定能够到达每一点，如果\(a_1\)到达不了\(a_n\)，说明不存在一个环，环上同时包含\(a_1\)到\(a_n\)。如果\(a_1\)出发可以到达\(a_n\)，则一定存在由\(a_1、a_n\)构成的正环。从\(a_1\)出发可以到达\(a_n\)，\(a_n\)出发可以到达\(a_1\)，这个条件保证了环的存在。第一次以\(a_n\)为起点求最短路时不存在负环，说明这个环一定不是负环，那么就是正环了（即使环的长度为\(0\)也是有解的）。根据我们上一段推出的结论可知，此时\(a_1\)和\(a_n\)之间的距离是有限的，并且第二次求最短路过程中\(a_1\)是起点，求得的\(a_n\)是最大值，所以此时的\(a_n\)就是我们要求的最大距离了。
最后再总结下本题给我们的经验:
- ① 最短路存在负环，差分约束问题无解
- ② 最短路存在正环，环上任意两点之间距离有限
- ③ 最短路不存在环，任意两点间距离可以是无穷大
- ④ 最长路存在正环，差分约束问题无解
- ⑤ 最长路存在负环，环上任意两点之间距离有限
- ⑥ 最长路不存在环，任意两点间距离可以是无穷大
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 20010, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m1, m2;
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];
int h[N], w[M], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
bool spfa(int sz) {
// spfa要调用2次，所以每次调用要清空一下st,cnt,dist
memset(st, 0, sizeof st);
memset(cnt, 0, sizeof cnt);
memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 最短路，初始化为正无穷
queue<int> q;
// 前sz个节点入队列
for (int i = 1; i <= sz; i++) {
dist[i] = 0;
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size()) {
int u = q.front();
q.pop();
st[u] = false;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (dist[v] > dist[u] + w[i]) { // 最短路
dist[v] = dist[u] + w[i];
cnt[v] = cnt[u] + 1;
if (cnt[v] >= n) return true; // 判负环
if (!st[v]) {
q.push(v);
st[v] = true;
}
}
}
}
return false;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m1, &m2);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m1--) {
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
// 表示奶牛 A 和奶牛 B 至多相隔 L 的距离。
// b-a <=c ==> b < a + c
add(a, b, c);
}
while (m2--) {
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
// 表示奶牛 A 和奶牛 B 至少相隔 D 的距离。
// b - a >=c => a <= b - c
add(b, a, -c);
}
// 奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的
for (int i = 1; i < n; i++) add(i + 1, i, 0); // x_{i+1} - x_i >= 0 => x_i <= x_{i+1}
if (spfa(n))
puts("-1"); // 从n出发找一下负环,如果负环存在则无解
else {
spfa(1); // 如果从1号节点出发，可以成功走到n号节点，则 dist[n]就不会是INF,如果是INF就说明没有走到过 n点。表示在不等式组中不存在 x_n,x_1之间的传递关联关系，即x_n可以随意
if (dist[n] == INF)
puts("-2");
else
printf("%d\n", dist[n]);
}
return 0;
}
