AcWing 904 虫洞

$AcWing$ $904$ 虫洞

一、题目描述

农夫约翰在巡视他的众多农场时，发现了很多令人惊叹的虫洞。

虫洞非常奇特，它可以看作是一条 单向 路径，通过它可以使你回到过去的某个时刻（相对于你进入虫洞之前）。

农夫约翰的每个农场中包含 $N$ 片田地，$M$ 条路径（双向）以及 $W$ 个虫洞。

现在农夫约翰希望能够从农场中的某片田地出发，经过一些路径和虫洞回到过去，并在他的出发时刻之前赶到他的出发地。

他希望能够看到出发之前的自己。

请你 判断 一下约翰能否做到这一点。

下面我们将给你提供约翰拥有的农场数量 $F$，以及每个农场的完整信息。

已知走过任何一条路径所花费的时间都不超过 $10000$ 秒，任何虫洞将他带回的时间都不会超过 $10000$ 秒。

输入格式
第一行包含整数 $F$，表示约翰共有 $F$ 个农场。

对于每个农场，第一行包含三个整数 $N,M,W$。

接下来 $M$ 行，每行包含三个整数 $S,E,T$，表示田地 $S$ 和 $E$ 之间存在一条路径，经过这条路径所花的时间为 $T$。

再接下来 $W$ 行，每行包含三个整数 $S,E,T$，表示存在一条从田地 $S$ 走到田地 $E$ 的虫洞，走过这条虫洞，可以回到 $T$ 秒之前。

输出格式
输出共 $F$ 行，每行输出一个结果。

如果约翰能够在出发时刻之前回到出发地，则输出 YES，否则输出 NO。

数据范围
$1≤F≤5$

$1≤N≤500,1≤M≤2500,1≤W≤200,1≤T≤10000,1≤S,E≤N$

输入样例：

2
3 3 1
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 3
3 2 1
1 2 3
2 3 4
3 1 8

输出样例：

NO
YES

二、解题思路

使用$spfa$算法解决 是否存在负环

基于$SPFA$，一般都用方法 $2$：

• 方法 $1$：统计每个点入队的次数，如果某个点入队$n$次，则说明存在 负环
• 方法 $2$：【荐】统计当前每个点的最短路中所包含的边数，如果某点的最短路所包含的边数大于等于$n$，说明存在 负环

通用做法

在原图的基础上新建一个虚拟源点，从该点向其他所有点连一条权值为$0$的有向边。那么原图有负环等价于新图有负环。此时在新图上做$spfa$，将虚拟源点加入队列中。然后进行$spfa$的第一次迭代，这时会将所有点的距离更新并将所有点插入队列中。执行到这一步，就等价于$y$总视频中的做法了。此做法可以找到负环，等价于原图有负环。

算法步骤

• $1、dist[x]$ 记录虚拟源点到$x$的最短距离

• $2、cnt[x]$ 记录当前$x$点到虚拟源点最短路的边数，初始每个点到虚拟源点的距离为$0$，只要他能再走$n$步，即$cnt[x] >= n$，则表示该图中一定存在负环，由于从虚拟源点到$x$至少经过$n$条边时，则说明图中至少有$n + 1$个点，表示一定有点是重复使用

• $3、$若$dist[j] > dist[t] + w[i]$,则表示从$t$点走到$j$点能够让权值变少，因此进行对该点$j$进行更新，并且对应$cnt[j] = cnt[t] + 1$,往前走一步

注意：该题是判断是否存在负环，并非判断是否存在从$1$开始的负环，因此需要将所有的点都加入队列中，更新周围的点,这也是为什么要使用超级源点的原因。

时间复杂度 一般：$O(m)$ 最坏：$O(nm)$

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510, M = 5210 * 2;
int n, m1, m2;
int dist[N]; // dist[x]记录源点到x的最短距离
int cnt[N];  // cnt[x]记录源点到x在产生最短距离时的边数
bool st[N];
// 邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

bool spfa() {
    // 初始化距离INF
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    // 是不是已经加入到集合中
    memset(st, 0, sizeof st);
    // 初始化从源点到x的最短距离时，边数都是0
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);

    queue<int> q;

    // 底层相当于有一个虚拟源点0
    //  0到 [1,n]的所有点，边权为0，不影响现在的图
    //  从虚拟节点0出发，到达所有的1~n，就成为了单源最短路径问题
    for (int i = 1; i <= n; i++) q.push(i), st[i] = true;

    // spfa
    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = 0;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] > dist[u] + w[i]) {
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                /*
                dist[j]表示j点距离源点的距离，cnt[j]表示从源点到j点经过的边数
                cnt[j] = cnt[u] + 1 的意思是 如果距离更新了，那么从源点到j的边数就等于源点到u的边数 + 1
                所以通过这个我们可以判断是否存在负环，如果在j，u之间存在负环，那么cnt[j] 会不断加1

                我们通过判断cnt[j] >= n  确定是否存在负环

                为什么是cnt[j] >= n ？ 因为cnt数组表示的是边数，如果从某点到j点的边数大于等于n，那么在源点和j点之间肯定存在n+1个点，
                但是最多只有n个点，根据抽屉原理，所以必然有点重复出现，存在负环 ！
                */
                cnt[v] = cnt[u] + 1;
                if (cnt[v] > n) return 1;

                if (!st[v]) {
                    q.push(v);
                    st[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d %d %d", &n, &m1, &m2);
        // 初始化邻接表
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;

        int a, b, c;
        // 田地 双向边
        while (m1--) {
            scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
            add(a, b, c), add(b, a, c);
        }

        // 虫洞 回到t秒前 单向负边
        while (m2--) {
            scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
            add(a, b, -c);
        }

        // 用spfa判断是不是有负环
        spfa() ? puts("YES") : puts("NO");
    }
    return 0;
}