AcWing 346 走廊泼水节

$AcWing$ $346$ 走廊泼水节

一、题目描述

话说，中中带领的$Oier$们打算举行一次冬季泼水节，当然这是要秘密进行的，绝对不可以让中中知道。不过中中可是老江湖了，当然很快就发现了我们的小阴谋，于是他准备好水枪迫不及待的想要加入我们了。
我们一共有$N$个$Oier$打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有$N$个水龙头(至于为什么，我不解释)。$N$个水龙头之间正好有$N-1$条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是$Oier$们为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密 ~ ),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接 ( 也就是构成一个完全图 呗 ~ )。但是$Oier$们很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那$N-1$条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要 大于 两个水龙头之前连接的所有小道( 小道当然要是最短 的了)。所以神$COW$们，帮那些$Oier$们计算一下吧，修建的那些道路总长度 最短 是多少，毕竟修建道路是要破费的~~

二、题目大意

给定一棵 $N$ 个节点的树，要求 增加若干条边，把这棵树扩充为 完全图，并满足图的 唯一 最小生成树 仍然是这棵树。

求增加的边的权值总和最小是多少。

注意： 树中的所有边权均为整数，且新加的所有边权也必须为整数。

输入格式
第一行包含整数 $t$，表示共有 $t$ 组测试数据。

对于每组测试数据，第一行包含整数 $N$。

接下来 $N−1$ 行，每行三个整数 $X,Y,Z$，表示 $X$ 节点与 $Y$ 节点之间存在一条边，长度为 $Z$。

输出格式
每组数据输出一个整数，表示权值总和最小值。

每个结果占一行。

数据范围
$1≤N≤6000$

$1≤Z≤100$

输入样例：

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

输出样例：

4
17 

三、题目解析

解释：$(1,4),(1,3),(2,4)$共三条边需要连接上，才能构成完全图，$(2,3)$是不需要连接的，因为它是最小生成树的一部分。

做$Kruskal$算法，在每循环到一条可以合并两个连通块的边$edge$时，记$edge$的边长为$c$,为了形成一个完全图，就要使得两个已经是完全图的连通块中的点有边，但是为了使最后的唯一最小生成树还是原来那棵而且，新增的边一定要大于$c$：

• 假设新边小于$c$，因为新增边后会成环，当断开边$edge$，形成的树大小会变小，即不是原来那棵，所以不成立

• 假设新边等于$c$，同样的断开$edge$，会形成一个大小一样但结构不一样的树，不满足唯一，所以也不成立

所以只要在每次新增$edge$的时候，给两个连通块内的点增加 $c+1$ 长的边即可。

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 6010;

struct Edge {
    int a, b, c;
    const bool operator<(const Edge &t) const {
        return c < t.c;
    }
} edge[N];
int n;

int cnt[N]; // 配合并查集使用的，记录家族人员数量
int p[N];   // 并查集
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i, cnt[i] = 1; // 并查集初始化

        // 录入n-1条边
        int el = n - 1;
        for (int i = 0; i < el; i++) {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            edge[i] = {a, b, c};
        }
        // 排序
        sort(edge, edge + el);

        int res = 0;
        for (int i = 0; i < el; i++) {
            int a = find(edge[i].a), b = find(edge[i].b), c = edge[i].c;
            if (a != b) {
                // a集合数量，b集合数量，相乘，但需要减去已经建立的最小生成权这条边
                // c是最小的，其它的可以建立最小也得大于c,即c+1
                res += (cnt[a] * cnt[b] - 1) * (c + 1);
                p[a] = b;         // 合并到同一集合
                cnt[b] += cnt[a]; // b家族人数增加cnt[a]个,并查集数量合并
            }
        }
        // 输出
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}