AcWing 1140. 最短网络

$AcWing$ $1140$. 最短网络

一、题目描述

农夫约翰被选为他们镇的镇长！

他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。

约翰已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。

约翰的农场的编号是$1$，其他农场的编号是 $2$∼$n$。

为了使花费最少，他希望用于连接所有的农场的 光纤总长度尽可能短。

你将得到一份各农场之间连接距离的列表，你必须找出能连接所有农场并使所用光纤最短的方案。

输入格式
第一行包含一个整数 $n$，表示农场个数。

接下来 $n$ 行，每行包含 $n$ 个整数，输入一个对角线上全是$0$的对称矩阵。
其中第 $x+1$ 行 $y$ 列的整数表示连接农场 $x$ 和农场 $y$ 所需要的光纤长度。

输出格式
输出一个整数，表示所需的最小光纤长度。

数据范围
$3≤n≤100$
每两个农场间的距离均是非负整数且不超过$100000$。

输入样例

4
0  4  9  21
4  0  8  17
9  8  0  16
21 17 16  0

输出样例

28

三、$Prim$ 算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
int g[N][N];
int dis[N];
bool st[N];
int res;

int prim() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
        if (i && dis[t] == INF) return INF; // 非连通图，没有最小生成树
        if (i) res += dis[t];
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && g[t][j] < dis[j]) {
                dis[j] = g[t][j];
            }
        st[t] = true;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    // 初始化
    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            cin >> g[i][j]; // 有向图
    cout << prim() << endl;
    return 0;
}

四、$kruscal$ 算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n个节点，m条边

// Kruskal用到的结构体
struct Node {
    int a, b, c;
    bool const operator<(const Node &t) const {
        return c < t.c; // 边权小的在前
    }
} edge[M]; // 数组长度为是边数

// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int res; // 最小生成树的权值和
int cnt; // 最小生成树的结点数

// Kruskal算法
void kruskal() {
    // 1、按边权由小到大排序
    sort(edge, edge + m);
    // 2、并查集初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    // 3、迭代m次
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
            p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
    }
    // 4、特判是不是不连通
    if (cnt < n - 1) res = INF;
}

int main() {
    cin >> n;
    // 邻接矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            int c;
            cin >> c;
            edge[m++] = {i, j, c}; // 加入当前的边
        }
    kruskal();
    cout << res << endl;
    return 0;
}