矩阵乘法详解

首先要知道矩阵是怎么相乘的

首先，两个矩阵要是想相乘需要满足，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
满足的话就可以相乘得到新的矩阵了。

举个例子嗷：

矩阵$a$：

1 2 3
3 2 2
2 1 2

矩阵$b$：

2 2
3 1
2 1

$a$矩阵是$3 * 3$（$3$行$3$列）的矩阵，$b$矩阵是$3 * 2$（$3$行$2$列）的矩阵，满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。那我们就可以相乘了
一个$m*n$的矩阵和一个$n*p$的矩阵相乘，将会得到一个$m*p$的矩阵
相乘得到的矩阵$c$是$3*2$的：

14 7
16 10
11 7

其实就是矩阵$a$的第一行每个元素分别与$b$的第一列相乘再求和，得到$c$矩阵的第一个数，然后$a$矩阵的第一行再与$b$矩阵的第二列相乘，得到第二个数，然后是$a$矩阵的第二行与$b$矩阵的第一列…

不明白的看下边吧：

1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 2 = 14
1 * 2 + 2 * 1 + 3 * 1 = 7
3 * 2 + 2 * 3 + 2 * 2 = 16
3 * 2 + 2 * 1 + 2 * 1 = 10
2 * 2 + 1 * 3 + 2 * 2 = 11
2 * 2 + 1 * 1 + 2 * 1 = 7

好了，懂了怎么相乘就来看题吧…

先看这道题…

题目描述
矩阵$A$规模是$n×m$，矩阵$B$规模是$m×p$，现在需要你求$A*B$

输入
输入$n,m$。然后输入$n×m$的矩阵。

输入$p$,然后输入$m×p$的矩阵。

$1<=n,m,p<=100$

$-10000<=$矩阵元素$<=10000$

输出
输出相乘后的$n×p$的矩阵

样例输入

2 3
1 2 3
3 2 1
2
1 1
2 2
3 3

样例输出

14 14
10 10

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int a[N][N], b[N][N], c[N][N];
int n, m, p;
int main() {
    cin >> n >> m; //矩阵a为n*m（n行m列）
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++)
            cin >> a[i][j];

    cin >> p; //矩阵b为m*p（m行p列）
    for (int i = 0; i < m; i++)
        for (int j = 0; j < p; j++)
            cin >> b[i][j];

    //结果是n行p列的，所以外面两层循环是n和p
    //最后一层循环是m，因为(n,m),(m,p),所以(i,k)一组，(k,j)一组
    for (int i = 0; i < n; i++)     //矩阵c是a与b相乘得到的
        for (int j = 0; j < p; j++) // n*p（n行p列）
            for (int k = 0; k < m; k++)
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; //乘法再sum求和

    //输出
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < p; j++)
            cout << c[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

这一题根上面那一道没什么区别…

L1-048 矩阵$A$乘以$B$
给定两个矩阵$A$和$B$，要求你计算它们的乘积矩阵$AB$。需要注意的是，只有规模匹配的矩阵才可以相乘。即若$A$有$R​_a$行、$C​_a$​​列，$B$有$R​_b$行、$C​_b$​​ 列，有$C​_a$​与$R​_b$ 相等时，两个矩阵才能相乘。

输入格式：
输入先后给出两个矩阵$A$和$B$。对于每个矩阵，首先在一行中给出其行数$R$和列数$C$，随后$R$行，每行给出$C$个整数，以$1$个空格分隔，且行首尾没有多余的空格。输入保证两个矩阵的$R$和$C$都是正数，并且所有整数的绝对值不超过$100$。

输出格式：
若输入的两个矩阵的规模是匹配的，则按照输入的格式输出乘积矩阵$AB$，否则输出Error: C_a != R_b，其中$C_a$是$A$的列数，$R_b$是$B$的行数。

输入样例1：

2 3
1 2 3
4 5 6
3 4
7 8 9 0
-1 -2 -3 -4
5 6 7 8

输出样例1：

2 4
20 22 24 16
53 58 63 28

输入样例2：

3 2
38 26
43 -5
0 17
3 2
-11 57
99 68
81 72

输出样例2：

Error: 2 != 3

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int a[N][N], b[N][N], c[N][N];
int n, m, p, q;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++)
            cin >> a[i][j];

    cin >> p >> q;
    for (int i = 0; i < p; i++)
        for (int j = 0; j < q; j++)
            cin >> b[i][j];

    if (m != p)
        cout << "Error: " << m << " != " << p;
    else {
        cout << n << " " << q << endl;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < q; j++)
                for (int k = 0; k < m; k++)
                    c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < q; j++) {
                if (j == q - 1)
                    cout << c[i][j]; //注意每行最后一个数字后没有空格
                else
                    cout << c[i][j] << " ";
            }
            if (i != n - 1)
                cout << endl;
        }
    }
    return 0;
}

矩阵乘法是一种巧妙地方式将加法转化成乘法的方式，以便在较短的方式解决递推问题。

对于这种加法形递推式，一般都可以使用矩阵乘法加速递推。

矩阵乘法满足结合律，不满足一般的交换律。

利用结合律，矩阵乘法可以利用 快速幂 的思想来优化。

在比赛中，由于线性递推式可以表示成矩阵乘法的形式，也通常用矩阵快速幂来求线性递推数列的某一项。