AcWing 344. 观光之旅
\(AcWing\) \(344\). 观光之旅
一、题目描述
给定一张无向图，求图中一个至少包含 \(3\) 个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。
该问题称为 无向图的最小环问题。
你需要输出最小环的方案，若最小环不唯一，输出任意一个均可。
输入格式
第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\)，表示无向图有 \(N\) 个点，\(M\) 条边。
接下来 \(M\) 行，每行包含三个整数 \(u，v，l\)，表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间有一条边，边长为 \(l\)。
输出格式
输出占一行，包含最小环的所有节点（按顺序输出），如果不存在则输出 No solution.。
二、\(floyd + dp\)求最小环模板题
最优化问题，从集合角度考虑(\(DP\))，将所有环按编号最大的点 分成 \(n\) 类，求出每类最小，最后在类间取 \(min\)
分类的标准是 可重、不漏。（对于求数量的问题，分类的标准是 不重不漏）
集合划分
对于最大编号是 \(k\) 的所有环，记点 \(k\) 逆时针方向的前一点为 \(i\)，顺时针方向的下个点为 \(j\)。由于 \(dis[i,k]=g[i,k], dis[k,j]=g[k,j]\) 为定值，要使整个环最小，就要使 \(dis[i,j]\) 最小。
\(floyd\) 第一层循环到 \(k\) 时的 \(dis[i,j]\) 恰好是中间点只包含 \(1\sim k−1\) 的最短距离。因此第 \(k\) 类最小值可在此时得到。
状态表示
求方案
\(DP\) 求方案一般要 记录转移前驱的所有维。但 \(floyd\) 转移方程中的 \(k\) 表示路径的中间点，由于路径可以被两端和中间点覆盖，只要记下中间点，就能递归出路径。
三、\(floyd+dp+\)递归输出路径
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N], d[N][N];
int path[N], idx;
int mid[N][N];
void get_path(int i, int j) {
int k = mid[i][j]; //获取中间转移点
if (!k) return; //如果i,j之间没有中间点，停止
get_path(i, k); // i->k
path[idx++] = k; //记录k节点
get_path(k, j); // k->j
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(g, 0x3f, sizeof g);
for (int i = 1; i <= n; i++) g[i][i] = 0;
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int ans = INF;
memcpy(d, g, sizeof d);
for (int k = 1; k <= n; k++) {
//插入DP计算
/*
Q:为什么循环的时候i和j都需要小于k啊，Floyd不是只需要经过的点小于k就可以了吗
A:只是为了避免经过相同的点，比如i == k时，三个点就变成两个点了。
其实循环到n也是可以的，不过当i, j, k中有两个相同时就要continue一下
*/
for (int i = 1; i < k; i++)
for (int j = i + 1; j < k; j++)
if (g[j][k] + g[k][i] < ans - d[i][j]) {
ans = d[i][j] + g[j][k] + g[k][i];
//找到更小的环，需要记录路径
//最小环的所有节点（按顺序输出）
//下面的记录顺序很重要：
// 1. 上面的i,j枚举逻辑是j>i,所以i是第一个
// 2. i->j 中间的路线不明，需要用get_path进行探索
// 3. 记录j
// 4. 记录k
idx = 0;
path[idx++] = i;
get_path(i, j); // i是怎么到达j的？就是问dist[i,j]是怎么获取到的，这是在求最短路径过程中的一个路径记录问题
path[idx++] = j;
path[idx++] = k;
}
//正常的floyd
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]) {
d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
mid[i][j] = k; //记录路径i->j 是通过k进行转移的
}
}
if (ans == INF)
puts("No solution.");
else
for (int i = 0; i < idx; i++) cout << path[i] << ' ';
return 0;
}
四、关于三个\(INF\)相加爆\(INT\)的应对之道
\(Q1\)：为什么这里是用\(ans-dis[i,j]\),而不是写成 \(ans> dis[i,j]+g[j,k]+g[k,i]\)?
\(A\): \(g[j][k],g[k][i] ∈ l\),\(l\)是小于\(500\)的,所在 \(g[j][k]+g[k][i]<1000\),肯定没问题
\(dis[i,j]\)的初始值是\(INF\)，\(g[i,j]\)的初始值也是\(INF\),如果都写在左边，如果\(i,j,k\)三者之间没有边，就是三个\(INF\),累加和会爆掉\(INT\),就会进入判断条件，错误. 而两个\(INF\)相加不会爆\(INT\)(想想松弛操作~)
\(Q2:(LL) dis[i][j] + g[j][k] + g[k][i] < ans\) 为什么是正确的？而
\((LL) (dis[i][j] + g[j][k] + g[k][i]) < ans\)为什么就是错误的？
\(A\):
INT_MAX = 2147483647
LONG LONG MAX=9223372036854775807ll
INF = 0x3f3f3f3f = 1061109567
INF * 3 =1061109567 * 3 = 3183328701 大于INT_MAX，即会爆INT，需要开LONG LONG
(LL)a + b + c 将a转为LL,然后再加b加c,都是LL+int,在LL范围内，结果正确
(LL)(a + b + c) 是先计算a+b+c,先爆INT，再转换LL,结果错误。
\(Q3\): 所有数据全开\(LL\)为什么一样不对呢？
\(A:\)
memset(q, 0x3f, sizeof q);
cout << q[0] << endl; // 4557430888798830399
cout << q[0] * 3 << endl; //-4774451407313060419
因为问题出在\(LL\)的初始\(memset\)上，比如memset(q,0x3f,sizeof q);
此时，每个数组位置上的值是：\(4557430888798830399\)
如果\(i,j,k\)三者之间没有关系，就会出现 类似于 g[i,k]+g[k,j]+d[i,j]=3* 4557430888798830399的情况，这个值太大，\(LL\)也装不下，值为-4774451407313060419,而此时\(ans\)等于\(INF\),肯定满足小于条件，就进入了错误的判断逻辑。
解决的办法有两种：
g[j][k] + g[k][i] < ans - dis[i][j]以减法避开三个\(INF\)相加,两个\(INF\)相加是\(OK\)的，不会爆\(INT\)- 将运算前的\(dis[i][j]\)转为\(LL\),这样，三个\(INF\)不会爆\(LL\)
