AcWing 343. 排序
\(AcWing\) \(343\). 排序
一、题目描述
给定 \(n\) 个变量和 \(m\) 个不等式。其中 \(n\) 小于等于 \(26\)，变量分别用前 \(n\) 的大写英文字母表示。
不等式之间具有传递性，即若 \(A>B\) 且 \(B>C\)，则 \(A>C\)。
请从前往后遍历每对关系，每次遍历时判断：
- 如果能够确定全部关系且无矛盾，则结束循环，输出确定的次序；
- 如果发生矛盾，则结束循环，输出有矛盾；
- 如果循环结束时没有发生上述两种情况，则输出无定解。
输入格式
输入包含多组测试数据。
每组测试数据，第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)。
接下来 \(m\) 行，每行包含一个不等式，不等式全部为 小于 关系。
当输入一行 0 0 时，表示输入终止。
输出格式
每组数据输出一个占一行的结果。
结果可能为下列三种之一：
-
如果可以确定两两之间的关系，则输出
Sorted sequence determined after t relations: yyy...y.,其中t指 迭代次数，yyy...y是指 升序排列 的所有变量。 -
如果有矛盾，则输出：
Inconsistency found after t relations.，其中t指迭代次数。 -
如果没有矛盾，且不能确定两两之间的关系，则输出
Sorted sequence cannot be determined.。
数据范围
\(2≤n≤26\)，变量只可能为大写字母 \(A\)∼\(Z\)。
输入样例\(1\)：
4 6
A<B
A<C
B<C
C<D
B<D
A<B
3 2
A<B
B<A
26 1
A<Z
0 0
输出样例\(1\)：
Sorted sequence determined after 4 relations: ABCD.
Inconsistency found after 2 relations.
Sorted sequence cannot be determined.
输入样例\(2\)：
6 6
A<F
B<D
C<E
F<D
D<E
E<F
0 0
输出样例\(2\)：
Inconsistency found after 6 relations.
输入样例\(3\)：
5 5
A<B
B<C
C<D
D<E
E<A
0 0
输出样例\(3\)：
Sorted sequence determined after 4 relations: ABCDE.
二、\(floyd\) 求传递闭包
概念
给定若干对元素和若干对二元关系，并且关系具有传递性，通过传递性推导出尽量多的元素之间关系的问题被称为 传递闭包。
解释:比如\(a < b,b < c\),就可以推导出\(a < c\)，如果用图形表示出这种大小关系，就是\(a\)到\(b\)有一条有向边 【小的向大的连一条边】，\(b\)到\(c\)有一条有向边，可以推出\(a\)可以到达\(c\)，找出图中各点能够到达点的集合，类似 于\(floyd\)算法求图中任意两点间的最短距离 【魔改版的\(floyd\)】。
模板
//传递闭包
void floyd(){
for(int k = 0;k < n;k++)
for(int i = 0;i < n;i++)
for(int j = 0;j < n;j++)
f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j];
}
// 原始版本
/*
for (int k = 0; k < n; k++)
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
*/
回到本题
- 题目描述要求按顺序遍历二元关系，一旦前\(i\)个二元关系可以确定次序了就不再遍历了，即使第\(i + 1\)对二元关系就会出现矛盾也不去管它了。
- 题目字母只会在\(A\)到\(Z\)间，因此可以映射为\(0\)到\(25\)这\(26\)个元素
- \(A < B\)，则\(f[0][1]=1\)。如果\(f[0][1] = f[1][0] = 1\)，推出\(f[0][0] = 1\)，此时\(A < B\)并且\(B < A\)发生矛盾，即\(f[i][i]= 1\)时表示发生矛盾。
算法步骤
每读取一对二元关系，就执行一遍\(floyd\)算法求 传递闭包，然后执行\(check\)函数判断:
- ① 如果发生矛盾终止遍历
- ② 如果次序全部被确定终止遍历
- ③ 两者都没有，继续遍历
在确定所有的次序后，需要 输出大小关系，需要一个\(getorder\)函数。
注意:
终止遍历仅仅是不再针对新增的二元关系去求传递闭包，循环还是要继续的，需要读完数据才能继续读下一组数据。
下面设计\(check\)函数和\(getorder\)函数。
// 1:可以确定两两之间的关系,2:矛盾,3:不能确定两两之间的关系
int check() {
// 如果i<i，那么就是出现了矛盾
for (int i = 0; i < n; i++)
if (f[i][i]) return 2;
// 存在还没有识别出关系的两个点i,j,还要继续读入
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < i; j++)
if (!f[i][j] && !f[j][i]) return 3;
return 1;
}
- ① 所有的关系都确定,而且没有发生矛盾
- ② \(f[i][i] = 1\) 发生矛盾
- ③ \(f[i][j] = f[j][i] = 0\) 表示\(i\)与\(j\)之间的大小关系还没有确定下来，需要继续读取下一对二元关系
string getorder(){
char s[26];
for(int i = 0;i < n;i++){
int cnt = 0;
for(int j = 0;j < n;j++) cnt += f[i][j];//有多少个数大于i
s[n - cnt - 1] = i + 'A'; //反着才能记录下名次
}
return string(s,s + n); //用char数组构造出string返回
}
解释：确定所有元素次序后如何判断元素
i在第几个位置呢？f[i][j] = 1表示i < j，因此计算下i小于元素的个数cnt，就可以判定i是第cnt + 1大的元素了
\(Code\) \(O(N^3)\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 26;
int n, m;
int g[N][N];
bool st[N];
// 求传递闭包
void floyd() {
for (int k = 0; k < n; k++)
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
g[i][j] |= g[i][k] && g[k][j];
}
int check() {
for (int i = 0; i < n; i++)
if (g[i][i]) return 2; // 矛盾
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < i; j++)
if (!g[i][j] && !g[j][i]) // 待继续
return 0;
return 1; // 找到顺序
}
string getorder() { // 升序输出所有变量
char s[26];
for (int i = 0; i < n; i++) {
int cnt = 0;
// f[i][j] = 1表示i可以到达j (i< j)
for (int j = 0; j < n; j++) cnt += g[i][j]; // 比i大的有多少个
// 举个栗子：i=0,表示字符A
// 比如比i大的有5个，共6个字符：ABCDEF
// n - cnt - 1 = 6-5-1 = 0,也就是A放在第一个输出的位置上, 之所以再-1，是因为下标从0开始
s[n - cnt - 1] = i + 'A';
}
// 转s字符数组为字符串
string res;
for (int i = 0; i < n; i++) res = res + s[i];
return res;
}
int main() {
while (cin >> n >> m, n || m) {
memset(g, 0, sizeof g); // 邻接矩阵
int type = 0, t; // type: 0=还需要继续给出条件 1=找到了顺序 2=存在冲突
// t:在第几次输入后找到了顺序，不能中间break,因为那样会造成数据无法完成读入，后续的操作无法进行，只能记录下来当时的i
for (int i = 1; i <= m; i++) {
char s[5];
cin >> s;
int a = s[0] - 'A', b = s[2] - 'A'; // A->0,B->1,...,Z->25完成映射关系
if (!type) { // 如果不存在矛盾，就尝试找出大小的顺序
g[a][b] = 1; // 有边
floyd(); // 求传递闭包
type = check(); // 检查是不是存在矛盾，或者找到了完整的顺序
if (type > 0) t = i; // 如果找到了顺序,或者发现了矛盾,记录是第几次输入后发现的
}
// 即使存在矛盾，也需要继续读入，直到本轮数据读入完成
}
if (!type)
puts("Sorted sequence cannot be determined.");
else if (type == 2)
printf("Inconsistency found after %d relations.\n", t);
else {
string ans = getorder(); // 输出升序排列的所有变量
printf("Sorted sequence determined after %d relations: %s.\n", t, ans.c_str());
}
}
return 0;
}
三、优化版本
\(O(N^2)\)
其实，由于每次新增加的一对\((a,b)\),只会更新与\(a,b\)有边连接的点，其它的无关点是没有影响的，如果加上一对\((a,b)\)就去全新计算，无疑是存在浪费的，可以优化的。
怎么优化呢？核心思路就是\((a,b)\)做为\(floyd\)算法的中继点即可，其它点不再被遍历做为中继点。
说人话就是：
① 遍历所有节点，找出所有小于\(a\)的节点\(x\),那么\(x\)一定小于\(b\)。
② 遍历所有节点，找出所有大于\(b\)的节点\(x\),那么\(a\)一定小于\(x\)。
③ 遍历所有节点，如果\(x<a\),并且,\(b<y\),那么\(x<y\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 26;
int n, m;
bool g[N][N];
bool st[N];
int check() {
for (int i = 0; i < n; i++)
if (g[i][i]) return 2; // 矛盾
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < i; j++)
if (!g[i][j] && !g[j][i]) // 待继续
return 0;
return 1; // 找到顺序
}
string getorder() { // 升序输出所有变量
char s[26];
for (int i = 0; i < n; i++) {
int cnt = 0;
// f[i][j] = 1表示i可以到达j (i< j)
for (int j = 0; j < n; j++) cnt += g[i][j]; // 比i大的有多少个
// 举个栗子：i=0,表示字符A
// 比如比i大的有5个，共6个字符：ABCDEF
// n - cnt - 1 = 6-5-1 = 0,也就是A放在第一个输出的位置上, 之所以再-1，是因为下标从0开始
s[n - cnt - 1] = i + 'A';
}
// 转s字符数组为字符串
string res;
for (int i = 0; i < n; i++) res = res + s[i];
return res;
}
int main() {
while (cin >> n >> m, n || m) {
memset(g, 0, sizeof g);
int type = 0, t;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
char str[5];
cin >> str;
int a = str[0] - 'A', b = str[2] - 'A';
// a<b,那么，不需要完全的重新计算完整的传递闭包，只需要把与a,b相关的变更进行记录大小关系即可
if (!type) {
g[a][b] = 1;
for (int x = 0; x < n; x++) {
if (g[x][a]) g[x][b] = 1; // 所有比a小的x,一定比b小
if (g[b][x]) g[a][x] = 1; // 所有比b大的x,一定比a大
for (int y = 0; y < n; y++)
if (g[x][a] && g[b][y])
g[x][y] = 1;
}
type = check();
if (type) t = i;
}
}
if (!type)
puts("Sorted sequence cannot be determined.");
else if (type == 2)
printf("Inconsistency found after %d relations.\n", t);
else {
string ans = getorder(); // 输出升序排列的所有变量
printf("Sorted sequence determined after %d relations: %s.\n", t, ans.c_str());
}
}
return 0;
}
