AcWing 1125 牛的旅行

$AcWing$ $1125$ 牛的旅行

一、题目描述

农民$John$的农场里有很多 牧区，有的路径连接一些特定的 牧区。

一片所有 连通的牧区 称为一个 牧场。

但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区不连通。

现在，$John$想在农场里 添加一条路径（注意，恰好一条）。

一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离（本题中所提到的所有距离指的都是 最短的距离）。

考虑如下的两个牧场，每一个牧区都有自己的坐标：

图 $1$ 是有 $5$ 个牧区的牧场，牧区用 $*$ 表示，路径用直线表示。

图 $1$ 所示的牧场的直径大约是 $12.07106$, 最远的两个牧区是 $A$ 和 $E$，它们之间的最短路径是 $A-B-E$。

图 $2$ 是另一个牧场。

这两个牧场都在$John$的农场上。

$John$将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。

只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。

现在请你编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场的直径尽可能小。

输出这个直径最小可能值。

输入格式
第 $1$ 行：一个整数 $N$, 表示牧区数；

接下来 $N$ 行，每行 $N$ 个数字，代表邻接矩阵 $M$。第 $i$ 行第 $j$ 列的数字为 $1$，表示 $i$ 号牧区和 $j$ 号牧区之间存在一条道路直接相连；第 $i$ 行第 $j$ 列的数字为 $0$，表示 $i$ 号牧区和 $j$ 号牧区之间不存在直接相连的道路。

第 $2$ 到 $N+1$ 行：每行两个整数 $X,Y$， 表示 $N$ 个牧区的坐标。每个牧区的坐标都是不一样的。

第 $N+2$ 行到第 $2*N+1$ 行：每行包括 $N$ 个数字 ( $0$或$1$ ) 表示一个对称邻接矩阵。

例如，题目描述中的两个牧场的矩阵描述如下：

  A B C D E F G H 
A 0 1 0 0 0 0 0 0 
B 1 0 1 1 1 0 0 0 
C 0 1 0 0 1 0 0 0 
D 0 1 0 0 1 0 0 0 
E 0 1 1 1 0 0 0 0 
F 0 0 0 0 0 0 1 0 
G 0 0 0 0 0 1 0 1 
H 0 0 0 0 0 0 1 0

输入数据中至少包括两个不连通的牧区。

输出格式
只有一行，包括一个实数，表示所求答案。

数字保留六位小数。

数据范围
$1≤N≤150,0≤X,Y≤10^5$

输入样例

8
10 10
15 10
20 10
15 15
20 15
30 15
25 10
30 10
01000000
10111000
01001000
01001000
01110000
00000010
00000101
00000010

输出样例
22.071068

二、题目解析

1、梳理概念

• 牧区： 点

• 牧场： 连通块

• 边权： 两个点之间的欧几里得距离，也就是二维平面中的两点之间最短直线距离

• 牧场直径:一个牧场中的 最长最短路
  

• 每个节点引出的最长路径

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) 
        if (dist[i][j] < INF / 2) 
            maxd[i] = max(maxd[i], dist[i][j]);
}

• 最长直径 = $max$(每个节点引出的最长路径)
  $res=max(maxd[A],maxd[B],maxd[C],...)$

2、思考变化

使用一条边连接两个牧场，使得合成的一个新的牧场的直径最小。意思就是加入一条边后，使得新的牧场的所有点对之间 最短路 的 最大值 最小。

那么这个新的最短路该怎么计算呢？

maxd[i] + maxd[j] + get(q[i], q[j])

// maxd[i]: i 点在原牧场中的最长路径 
// maxd[j]: j 点在原牧场中的最长路径 
// get(q[i], q[j]): (i,j)连通后新产生的欧几里得距离

解释：假设$(i,j)$是新连通的，那么原来$(i,j)$在各原来各个连通块中的最长路径，都可能会对 新图直径 有贡献，并且，需要加上$(i,j)$的欧几里得距离。

3、避坑指南

原文：所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场的直径尽可能小。

多么贴心的提醒！ 新的牧场直径有两种可能性：

• ① $i$在原连通块$A$中的最长路径+$j$在原连通块$B$中的最长路径+$(i,j)$连通后新产生的欧几里得距离
• ② $A$或$B$的直径，原来就不是通过$i$或$j$获得的，可能是通过$k,h,g$啥的获得的，就算你把$i,j$连接上了，可以获取到一条长的路径，但还是没有人家原来$A$或$B$连通块中旧的直径大，那新生成的连通块$C$的直径，还是人家旧的$A$或$B$的直径。

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second

const int N = 160;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
PII q[N];         // 每个点的坐标
char g[N][N];     // 邻接矩阵，记录是否中间有边
double dis[N][N]; // 每两个牧区(点)之间的距离
double maxd[N];   // maxd[i]:由i点出发，可以到达的最远的最短距离是多少
// Q:什么是最远的最短距离？
// 答：举个不太恰当的例子，比如A->B->C->D,边权都是1 ,同时存在一条A->D,边权是1。此时，有短的不取长的，所以A->D的距离是1，不是3。

// 欧几里得距离
double get(PII a, PII b) {
    int x = a.x - b.x, y = a.y - b.y;
    return sqrt(x * x + y * y);
}

int main() {
    // 牧区:点，牧场：连通块
    int n; // 点数
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d %d", &q[i].x, &q[i].y); // 点坐标

    // 邻接矩阵,描述点与点之间的连通关系
    // 这个用int还没法读入，因为它的输入是连续的，中间没有空格，讨厌啊~
    // 字符数组与scanf("%s",g[i])相结合，直接写入二维数组g的每一行上，这个技巧是值得我们学习的。
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%s", g[i]);

    // 遍历行与列，计算出每两个点之间的距离
    // ① 距离只在同一连通块中存在，不同的连通块间的距离是INF
    // ② 自己与自己的距离是0
    // ③ 两个牧区相连，距离=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
    // 本质： g + q => dis
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 1. double数组，在全局变量区，默认值是0
            // 2. 当i==j时，自己到自己的距离是0，所以没动作，直接使用默认值，即d[i][i]=0,自己到自己没有距离
            // 3. 当g[i][j]=='1'时，说明两者之间存在一条边，距离就是欧几里得距离计算办法
            // 4. 否则就是没有路径
            if (i == j)
                dis[i][j] = 0;
            else if (g[i][j] == '1')
                dis[i][j] = get(q[i], q[j]);
            else // 注意：由于dis数组是一个double类型，不能用memset(0x3f)进行初始化正无穷
                dis[i][j] = INF;
        }

    // ① Floyd算法 k,i,j
    // 原始各连通块内的多源最短路径
    for (int k = 0; k < n; k++)
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);

    // ② (1)求出未建设两个连通块之间线路前，所有连通块的直径最大值res1
    //   (2)求出未建设两个连通块之间线路前，每个点的可以到达的最远最短距离,下一步做模拟连线时会用到
    double res1 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) // 求i到离i(最短路径) 最长距离
            if (dis[i][j] < INF) maxd[i] = max(maxd[i], dis[i][j]);
        // 所有点的最远距离PK,获取所有连通块的最大直径
        res1 = max(res1, maxd[i]);
    }

    // ③ 模拟连线操作，看看这样连线后生成的新牧场直径会不会刷新原来的记录
    double res2 = INF;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (dis[i][j] == INF) // 如果i,j不在同一个连通块内
                // 连接原来不在同一连通块中的两个点后，可以取得的最小直径
                res2 = min(res2, maxd[i] + maxd[j] + get(q[i], q[j]));
    // PK一下
    printf("%.6lf\n", max(res1, res2));
    return 0;
}