AcWing 1135. 新年好

\(AcWing\) \(1135\). 新年好

一、题目描述

重庆城里有 \(n\) 个车站，\(m\) 条 双向 公路连接其中的某些车站。

每两个车站 最多 用一条公路连接，从任何一个车站出发都可以经过一条或者多条公路到达其他车站，但不同的路径需要花费的时间可能不同。

在一条路径上花费的时间等于路径上所有公路需要的时间之和。

佳佳的家在车站 \(1\)，他有五个亲戚，分别住在车站 \(a,b,c,d,e\)。

过年了，他需要从自己的家出发，拜访每个亲戚（顺序任意），给他们送去节日的祝福。

怎样走，才需要最少的时间？

输入格式
第一行：包含两个整数 \(n,m\)，分别表示车站数目和公路数目。

第二行：包含五个整数 \(a,b,c,d,e\)，分别表示五个亲戚所在车站编号。

以下 \(m\) 行，每行三个整数 \(x,y,t\)，表示公路连接的两个车站编号和时间。

输出格式
输出仅一行，包含一个整数 T，表示最少的总时间。

数据范围
\(1≤n≤50000,1≤m≤10^5,1<a,b,c,d,e≤n,1≤x,y≤n,1≤t≤100\)

输入样例：

6 6
2 3 4 5 6
1 2 8
2 3 3
3 4 4
4 5 5
5 6 2
1 6 7

输出样例：

21

二、解题思路

1. 梳理概念

车站: \(1,2,3,4,5,6,7,...,50000\)，最多可能\(50000\)个
这个数量挺大

亲戚个数：\(5\)个，分别住 \(a,b,c,d,e\)号车站
这个数量挺小，看来可以利用一下

亲戚家与车站关联关系
\(id[1]=8\) 表示第\(1\)个亲戚家住在\(8\)号车站附近,记录每个亲戚与车站的关系

2、思考过程

① 必须由佳佳的家出发，也就出发点肯定是\(1\)号车站
② 现在想求佳佳去\(5\)个亲戚家,每一家都需要走到，不能漏掉任何一家，但顺序可以任意。这里要要用一个关系数组\(id[]\)来把亲戚家的编号与车站号挂接一下。
③ 看到是最短路径问题，而且权值是正整数，考虑唯一可能性就是\(Dijkstra\)。
④ 但\(Dijkstra\)只能是单源最短路径求解，比如佳佳去二姨家，最短路径是多少。佳佳去三舅家，最短路径是多少。本题不是问某一家，问的是佳佳全去到，总的路径和最短是多少，这样的话，直接使用\(Dijkstra\)就无效了。
⑤ 继续思考:因为亲戚家只有\(5\)个,可以从这里下手，通过全排列的办法，枚举出所有的可能顺序，此时，计算次数=\(5*4*3*2*1=120\)次。 就算是跑个\(120\)次的\(Dijkstra\)也不是啥大问题，就是常数大一点呗，可以试试。
⑥ 跑多次\(Dijkstra\)是在干什么呢？就是在分别以二姨，三舅，四大爷家为出发点，分别计算出到其它亲戚家的最短距离，如果我们把顺序分别枚举出来，每次查一下已经预处理出来的两个亲戚家的最短距离，再加在一起，不就是可以进行\(PK\)最小值了吗？

至此，整体思路完成。

3.编码步骤

• \(6\)次最短路
  分别以佳佳家、五个亲戚家为出发点(\(id[i]~ i\in[0,5]\))，求\(6\)次最短路，相当于打表，一会要查

• 求全排列
  因为佳佳所有的亲戚都要拜访到，现在不知道的是什么样顺序拜访才是时间最少的。 把所有可能顺序都 枚举 出来，通过查表，找出两个亲戚家之间的最小时间，累加结果的和，再\(PJ\)最小就是答案

4.实现细节

通过前面的\(6\)次打表预处理，可以求出\(6\)个\(dist\)数组，当我们需要查找 \(1->5\)的最短路径时，直接查\(dist[1][5]\)

\(dist[i][j]\):从\(i\)号亲戚家(不是\(i\)号车站)出发，到达每个车站站点的 最短距离

注意:
这两个维度在概念上这所以存在差异，本质上是为了防止\(MLE\):
如果第一维也是车站站点的话，就是\(50000*50000\)的二维矩阵，\(≈2.5e9\),大的吓人。因为我们只关心从这\(6\)个位置出发的所有最短距离，所以第一维开成\(0\)~\(5\)。现在的空间占用是 \(50000*6=300000\),也就是\(3e5\)

\(\large Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 50010;       // 车站数目
const int M = N << 1 << 1; // 公路数目，一般来说，N个节点，通常是2*N条边，如果是无向图，再乘2
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m; // 车站数目,公路数目

// 存图
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dist[6][N];
int id[6]; // 0号索引：佳佳的家,其它5个亲戚，分别下标为1~5，值为所在的车站编号

/*
1、用在Dijkstra中判断量不是出过队列，多次调用Dijkstra需要在函数体内进行状态重置　
2、在dfs求全排列时，需要清空后记录在此路线上此　亲戚号　是不是走过了
*/
bool st[N];

/*
 S:出发车站编号
 dist[]:是全局变量dist[6][N]的某一个二维，其实是一个一维数组
 C++的特点：如果数组做参数传递的话,将直接修改原地址的数据
 此数组传值方式可以让我们深入理解C++的二维数组本质：就是多个一维数组，给数组头就可以顺序找到其它相关数据
 计算的结果：获取到S出发到其它各个站点的最短距离，记录到dist[S][站点号]中
*/
void dijkstra(int S, int dist[]) {
    dist[S] = 0;
    memset(st, false, sizeof st);
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    q.push({0, S});

    while (q.size()) {
        auto t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] > dist[u] + w[i]) {
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                q.push({dist[v], v});
            }
        }
    }
}

int ans = INF; // 预求最小先设最大

// u:第几个亲戚
// pre:前序站点
// sum:按此路径走的总距离和
void dfs(int u, int pre, int sum) {
    if (u == 6) { // 如果安排完所有亲戚的拜访顺序，就是得到了一组解，尝试更新最小值
        ans = min(ans, sum);
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= 5; i++) // 在当前位置上，枚举每个可能出现在亲戚站点
        if (!st[i]) {            // 如果这个亲戚没走过
            st[i] = true;        // 走它
            // 本位置填充完，下一个位置，需要传递前序是i,走过的路径和是sum+dist[pre][id[i]].因为提前打好表了，所以肯定是最小值，直接用就行了　
            // 需要注意的是一维是　6的上限，也就是　佳佳家+五个亲戚　，而不是 车站号(佳佳家+五个亲戚) !因为这样的话，数据就很大，数组开起来麻烦，可能会MLE
            // 要注意学习使用小的数据标号进行事情描述的思想
            dfs(u + 1, i, sum + dist[pre][id[i]]);
            st[i] = false; // 回溯
        }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m); // 车站数目和公路数目

    id[0] = 1;                                        // 佳佳是0，id[0]=1,表示佳佳家在1号车站
    for (int i = 1; i <= 5; i++) scanf("%d", &id[i]); // 五个亲戚所在车站编号,比如id[1]=2,描述1号亲戚在2号车站

    // 建图完成后，图中的节点其实是　车站的站点编号，而不是亲戚编号
    memset(h, -1, sizeof h); // 为了存图，需要初始化邻接表

    while (m--) { // 建图
        int a, b, c;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); // a号车站到b号车站，需要走的时间是c
        add(a, b, c), add(b, a, c);    // 无向图，双向建边
    }

    // 计算从某个亲戚所在的车站出发，到达其它几个点的最短路径
    // 因为这样会产生多组最短距离，需要一个二维的数组进行存储
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    for (int i = 0; i < 6; i++) dijkstra(id[i], dist[i]);
    // 枚举每个亲戚所在的车站站点，多次Dijkstra,分别计算出以id[i]这个车站出发，到达其它点的最短距离，相当于打表
    // 将结果距离保存到给定的二维数组dist的第二维中去，第一维是指从哪个车站点出发的意思

    // dfs还要用这个st数组做其它用途，所以，需要再次的清空
    memset(st, 0, sizeof st);

    // 1：准备走第一家亲戚(具体是a,b,c,d,e哪一家随意都可以)
    // 0：前序是佳佳自己家,他自己家的序号是0号
    // 0：已经走过的最短距离和是0
    dfs(1, 0, 0);

    // 　输出结果
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}