AcWing 903. 昂贵的聘礼

$AcWing$ $903$. 昂贵的聘礼

一、题目描述

年轻的探险家来到了一个印第安部落里。

在那里他和酋长的女儿相爱了，于是便向酋长去求亲。

酋长要他用 $10000$ 个金币作为聘礼才答应把女儿嫁给他。

探险家拿不出这么多金币，便请求酋长降低要求。

酋长说：嗯，如果你能够替我弄到大祭司的皮袄，我可以只要 $8000$ 金币。如果你能够弄来他的水晶球，那么只要 $5000$ 金币就行了。

探险家就跑到大祭司那里，向他要求皮袄或水晶球，大祭司要他用金币来换，或者替他弄来其他的东西，他可以降低价格。

探险家于是又跑到其他地方，其他人也提出了类似的要求，或者直接用金币换，或者找到其他东西就可以降低价格。

不过探险家没必要用多样东西去换一样东西，因为不会得到更低的价格。

探险家现在很需要你的帮忙，让他 用最少的金币娶到自己的心上人。

另外他要告诉你的是，在这个部落里，等级观念十分森严。

地位差距超过一定限制的两个人之间不会进行任何形式的直接接触，包括交易。

他是一个外来人，所以可以不受这些限制。

但是如果他和某个地位较低的人进行了交易，地位较高的的人不会再和他交易，他们认为这样等于是间接接触，反过来也一样。

因此你需要在考虑所有的情况以后给他提供一个最好的方案。

为了方便起见，我们把所有的物品从 $1$ 开始进行编号，酋长的允诺也看作一个物品，并且编号总是 $1$。

每个物品都有对应的价格 $P$，主人的地位等级 $L$，以及一系列的替代品 $T_i$ 和该替代品所对应的 优惠 $V_i$。

如果两人地位等级差距超过了 $M$，就不能 间接交易。

你必须根据这些数据来计算出探险家 最少需要多少金币才能娶到酋长的女儿。

输入格式
输入第一行是两个整数 $M，N$，依次表示地位 等级差距限制 和 物品的总数。

接下来按照编号从小到大依次给出了 $N$ 个物品的描述。

每个物品的描述开头是三个非负整数 $P、L、X$，依次表示该物品的 价格、主人的 地位等级 和 替代品总数。

接下来 $X$ 行每行包括两个整数 $T$ 和 $V$，分别表示 替代品的编号 和 优惠价格。

输出格式
输出最少需要的金币数。

二、题目解析

难点 在于如何建图以及如何处理等级限制:

建图方式

我们可以 创造 一个 超级源点 :

• 每个点 $i$ 的价格 相当于 从点$0$到点 $i$ 连一条边, 边权 定义为点$i$的价格
• 每个点 $i$ 有多个可替代点: 从可替代点 到点$i$ 连一条边
• 结果:顶点 $0$ 到 顶点 $1$ 的 最短路

//测试用例解释

//等级差距限制 和 物品的总数
1 4     

//1号物品，3级，有2个可替代品
10000 3 2  
2 8000      //替代品的编号:2,优惠价格:8000
3 5000      //替代品的编号:3,优惠价格:5000
---------------------------------------------
//2号物品，2级，有1个可替代品
1000 2 1   
4 200      //替代品的编号:5,优惠价格:200
---------------------------------------------
//3号物品，2级，有1个替代品
3000 2 1   
4 200      //替代品的编号：4，优惠价格:200
---------------------------------------------
//4号物品，2级，有0个替代品
50 2 0     

等级限制

• 酋长的女儿肯定是要娶到手的，所有的路径都会汇集在 $1$ 号点，也就是说 $1$ 号点是所有路径中都存在的点

• 假设 $1$号点等级为 $L_1$，则所有最短路的点都必须满足在 $[L_1-M,L_1+M]$ 范围内

• 如果只是将$[L_1-M,L_1+M]$ 这个区间作为最后的区间，会存在两个点的等级差超过了 $M$ 值，不符合题意，所以，这个区间还要继续缩小

依次枚举区间 $[L_1-M,L_1],[L_1-M+1,L_1+1],[L_1-M+2,L_1+2]...[L_1,L_1+M]$，这些小区间内的任意两个点的等级都不会超过 $M$ 值，并且同时保证了 $1$ 号点肯定在区间内。

因此，依次求出每个小区间的最短路，最后再取最小值就是答案

三、$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 110;
const int M = N * N; // 边数最多有n^2,这是顶天设置，此处与传统的题目不，一般的M=　N<<1，此题目没有明确给出边数上限，直接认为N^2
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int dist[N]; // 单源最短路径
bool st[N];  // 配合Dijkstra用的是否出队过
int L[N];    // 每个节点的等级
int n, m;    // n个物品，m表示等级差距限制

int dijkstra(int l, int r) {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    memset(st, 0, sizeof st);
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    // 距离，节点号
    q.push({0, 0}); // 超级源点
    dist[0] = 0;

    while (q.size()) {
        auto t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            // 枚举边时，只处理等级在指定范围内
            if (L[v] < l || L[v] > r) continue;

            if (dist[v] > dist[u] + w[i]) {
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                q.push({dist[v], v});
            }
        }
    }
    return dist[1];
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h); // 初始化邻接表
    scanf("%d %d", &m, &n);  // m:表示地位等级差距限制，n:物品的总数

    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举每个节点
        int p, l, cnt;             // 价格 等级 替代品数目
        scanf("%d%d%d", &p, &L[i], &cnt);

        add(0, i, p); // 虚拟源点0,　0获取i号物品，需要p这么多的金币

        for (int j = 1; j <= cnt; j++) { // 读入物品i的替代品
            int u, v;                    // 替代品的编号 和 优惠价格
            scanf("%d%d", &u, &v);       // u:替代品编号，v:收到替代品后的收费价格
            add(u, i, v);                // 从替代品向可替代品引一条长度为v的边
        }
    }
    // 预求最小，先设最大
    int res = INF;
    // 枚举区间范围进行多次求最小路径
    for (int i = L[1] - m; i <= L[1]; i++) res = min(res, dijkstra(i, i + m));
    // 输出结果
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}