AcWing 167. 木棒

\(AcWing\) \(167\). 木棒

一、题目描述

乔治拿来 一组等长 的木棒，将它们随机地砍断，使得每一节木棍的长度都 不超过 \(50\) 个长度单位。

然后他又想把这些木棍 恢复到为裁截前的状态 ，但忘记了 初始时有多少木棒 以及 木棒的初始长度。

请你设计一个程序，帮助乔治计算木棒的 可能最小长度。

每一节木棍的长度都用大于零的整数表示。

输入格式
输入包含多组数据，每组数据包括两行:

第一行是一个不超过 \(64\) 的整数，表示砍断之后共有多少节木棍。

第二行是截断以后，所得到的各节木棍的长度。

在最后一组数据之后，是一个零。

输出格式
为每组数据，分别输出原始木棒的可能最小长度，每组数据占一行。

备注

\(1≤N≤60\)

输入样例：

9
5 2 1 5 2 1 5 2 1
4
1 2 3 4
0

输出样例：

6
5

二、朴素\(dfs\)

这道题可以说是搜索剪枝例题中的经典，如果能够完全吃透这道题，对剪枝的领悟一定能更深!

东西	尺寸
木棒	大
木棍	小

朴素版本 的搜索代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 65;
int a[N], n, len, sum;
bool st[N];

// len：每个木棒的长度
// u：当前正在装的木棒
// last:当前木棒已经装入的木棍长度
bool dfs(int u, int last) {
    // 如果上一个木棒填充完整，开启了新的木棒，那么，新木棒的当前木棍总长是0，同时，如果u个木棒全部装满就可以包含所有，就是找到了合适的木棒长度和木棒个数
    if (u * len == sum) return true;

    // 如果当前木棒已填满，开启下一个木棒
    if (last == len) return dfs(u + 1, 0);

    for (int i = 0; i < n; i++) {                 // 枚举每一个木棍
        if (st[i] || last + a[i] > len) continue; // 如果使过了，或者，当前木棒剩余空间不足以装入i木棍，放过

        st[i] = true;                         // 装入
        if (dfs(u, last + a[i])) return true; // 装入后，此路径的后续汇报了成功标识，则本路径就是成功的，不需要再继续搜索了
        // 注意：这里不能直接 return dfs(u,last+a[i]),原因是因为即使按现在这样的装法不能成功，但不代表着不可以尝试其它的木棍，不能直接 return
        // 这个bool和void的使用方法有一些区别，冉要仔细体会 ，也可以理解为在使用 bool dfs时，return要小心再小心，就能不犯错误
        st[i] = false; // 回溯
    }
    return false; // 如果上面的代码中未能return true,就表示进入了一条死的路径，当前len不合法 或者是 当前木棒选择的木棍不正确
}
int main() {
    while (cin >> n && n) {
        sum = 0;
        memset(st, false, sizeof st);
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i], sum += a[i];
        // 从1~sum，由小到大逐个枚举木棒长度，这样，可以保证第一个符合条件的木棒长度是最小的
        // 在 木棒长度=len的前提下，开始向第1个木棒里装东西，目前第1个木棒内已装入的长度为0
        // 如果当前木棒长度=len的情况下，可以找到完美的装填办法，就是找到的答案
        for (len = 1; len <= sum; len++) {
            if (dfs(1, 0)) {
                printf("%d\n", len);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

毫无疑问，\(TLE\)了，需要优化。

三、优化

1、木棒长度一定是所有木棍总长度的约数

因为原来每根木棒长度是相同的，所以

\[\large sum(总长度)=len(单个木棒长度)*num(木棒数量) \]

也就是一定要有$$\large sum% len=0$$

也就是说我们在枚举\(len\)时，可以通过上面的性质，避免一些无效的、肯定不对的木棒长度枚举，从而起到优化的目的。

2、要组合不要排列

这个问题中的木棒长度跟搭配 顺序 没有关系 ，比如编号为\([1,2,3]\)结合的木棍，与编号为\([3,2,1]\)结合的木棍，视为同一个组合，我们只要控制好枚举的顺序，就可以得到唯一的组合搭配顺序，而不需要枚举出所有的排列形式。这一点也很好实现:每个木棒开始时，从下标\(0\)开始找木棍进行填充，并且记录这个上一个是从哪个下标开始的，新选择的木棍号码，一定要比上一个大就行，不可以选择比上一个小的，防止了非单调递增序的产生，下面的我们首先需要理解的组合与排列的对比代码：

排列

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 20;
int n, m;
bool st[N];
vector<int> path;

void dfs(int u) {
    if (u == m) {
        for (int i = 0; i < path.size(); i++)
            cout << path[i] << " ";
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) {
            path.push_back(i);
            st[i] = true;
            dfs(u + 1);
            st[i] = false;
            path.pop_back();
        }
    }
}
//　测试用例：
//  5 3
int main() {
    cin >> n >> m;
    dfs(0);
    return 0;
}

组合

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 20;
int n, m;
bool st[N];
vector<int> path;

void dfs(int u, int start) {
    if (u == m) {
        for (int i = 0; i < path.size(); i++) cout << path[i] << " ";
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = start; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) {
            path.push_back(i);
            st[i] = true;
            dfs(u + 1, i + 1);
            st[i] = false;
            path.pop_back();
        }
    }
}
//　测试用例：
//  5 3
int main() {
    cin >> n >> m;
    dfs(0, 1);
    return 0;
}

3、优化搜索顺序

有了运输小猫那道题的经验，我们知道：将木棍按 由大到小 排序，然后去深搜，可以让搜索更快。

原理：先枚举大的，后面的搜索空间就少了，可以减少分支。

4、当填充某个木棍失败时(回溯后)

• \(①\) 在一个木棒结尾正好装下，但后续动作无法完成完美填充
• \(②\) 在一个空木棒头部放木棍，但后续动作无法完成完美填充

推论
假如一根小木棍放在当前大木棒中，正好在尾部填充满，无法完成后续的完美填充，那么可以判断它放在任何一根大木棒中都无法实现完美填充。

证明
反证法：假如有一根小木棍放在当前大木棒\(x\)的最后一根不行，但是放在其他大木\(y\)的某个位置行，则大木\(y\)中该小木棍可以通过平移使得该小木棍置于 最后一个位置，这样就存在方案使得该小木放在大木棒最后一个位置可行，与假设相悖，得证。

同理，\(②\)也是正确的结论。

四、代码实现

\(23ms\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 70;
int a[N];   // 用来装每个木棍的长度
int n;      // 木棍个数
int len;    // 组长度
int sum;    // 总长度
bool st[N]; // 标识某个木棍是不是使用过了

/*
u   :木棒号,下标从0开始
last:最后一个木棒目前的长度
start:从哪个索引号开始继续查找

只要搜索到解就停止的dfs问题，一般用bool类型作为返回值，因为这样，搜到最优解就返回true，用dfs的返回值作为条件，
就可以瞬间退出递归了。比上一题中专门设置标志变量的方法要更好。
*/
bool dfs(int u, int last, int start) {
    // 因为填充的逻辑是填充满了一个，才能走到下一个面前，所以如果成功到达了第u个前面的话，说明前u-1个都是填充满的
    // 如果在第u个面前,检查到木棒长度 乘以 木棒数量 等于总长度，说明完成了所有填充工作，递归终止
    if (len * u == sum) return true;

    // 因为每一个木棒原来都是客观存在的，所以，每组木棍必须可以填充满一个木棒
    // 不能填充满，就不能继续填充下一个木棒
    if (last == len) return dfs(u + 1, 0, 0); // 注意当一组完成时，下一组从0开始搜

    // 在当前木棒没有填充满的情况下，需要继续找某个木棍进行填充
    //  start表示搜索开始的位置
    // 防止出现 abc ,cba这样的情况，我们要的是组合，不要排列,每次查找选择元素后面的就可以了
    for (int i = start; i < n; i++) {
        // 使用过 or 超过枚举的木棒长度
        if (st[i] || last + a[i] > len) continue;

        // 准备将i号木棍，放入u这个木棒中
        st[i] = true;                                    // 标识i号木棍已使用过
        if (dfs(u, last + a[i], start + 1)) return true; // 将i号木棍放入u号木棒中
        st[i] = false;                                   // 恢复现场

        // 可行性剪枝
        // 优化4：如果在第u组放置失败，且此时第u组长度为0，这是最理想的状态，这种情况都放不下，那么占用了一些空间的情况下，就肯定更放不下！
        if (last == 0) return false;

        // 优化5：如果加入一个元素后某个分组和等于len了，但是后续搜索失败了(后续肯定是开新组并且last从0开始)，则没有可行解,和4是等价的。
        if (last + a[i] == len) return false;

        // 优化6：冗余性剪枝
        // 如果当前未放置成功，则后面和该木棒长度相等的也一样，直接略过即可
        while (i < n - 1 && a[i] == a[i + 1]) i++;
    }
    return false;
}
int main() {
    // 多组测试数据，以0结束输入
    while (scanf("%d", &n) && n) {
        // 多组数组初始化
        sum = 0;                      // 木棒总长清零
        memset(st, false, sizeof st); // 清空使用状态桶数组

        // 录入n个木棍的长度
        for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]), sum += a[i]; // 总长度

        // 优化1：按小猫思路，由大到小排序，因为大卡车越往前越好找空放，越往后越不容易找空
        // 根据搜索顺序优化，枚举长度小的分支比长度大的分支要多，所以先枚举长度大的
        sort(a, a + n, greater<int>());

        // 枚举每一个可能的木棒长度,注意这是一个全局量，因为需要控制递归的出口
        for (len = a[0]; len <= sum; len++) { // 优化2：从最短的木棍长度开始，可以减枝
            // 优化3：如果总长度不能整除木棒长度，那么不能按这个长度设置木棒长度
            if (sum % len) continue;

            // 在当前len长度的基础上，开始搜索
            if (dfs(1, 0, 0)) {
                printf("%d\n", len); // 找到最短的木棒长度
                break;               // 找到一个就退出
            }
        }
    }
    return 0;
}