AcWing 1107 魔板
\(AcWing\) \(1107\) 魔板
一、题目描述
\(Rubik\) 先生在发明了风靡全球的魔方之后，又发明了它的二维版本——魔板。
这是一张有 \(8\) 个大小相同的格子的魔板：
1 2 3 4
8 7 6 5
我们知道魔板的每一个方格都有一种颜色。
这 \(8\) 种颜色用前 \(8\) 个正整数来表示。
可以用颜色的序列来表示一种魔板状态，规定从魔板的 左上角开始 ，沿 顺时针方向 依次取出整数，构成一个颜色序列。
对于上图的魔板状态，我们用序列 \((1,2,3,4,5,6,7,8)\) 来表示，这是基本状态。
这里提供三种基本操作，分别用大写字母 \(A，B，C\) 来表示（可以通过这些操作改变魔板的状态）：
\(A\)：交换上下两行
\(B\)：将最右边的一列插入到最左边
\(C\)：魔板中央对的\(4\)个数作顺时针旋转
下面是对基本状态进行操作的示范：
\(A\)：
8 7 6 5
1 2 3 4
\(B\)：
4 1 2 3
5 8 7 6
\(C\)：
1 7 2 4
8 6 3 5
对于每种可能的状态，这三种基本操作都可以使用。
你要编程计算用 最少的基本操作 完成 基本状态 到 特殊状态 的转换，输出 基本操作序列。
注意：数据保证一定有解。
输入格式
输入仅一行，包括 \(8\) 个整数，用空格分开，表示目标状态。
输出格式
输出文件的第一行包括一个整数，表示最短操作序列的长度。
如果操作序列的长度大于\(0\)，则在第二行输出字典序最小的操作序列。
数据范围
输入数据中的所有数字均为 \(1\) 到 \(8\) 之间的整数。
输入样例：
2 6 8 4 5 7 3 1
输出样例：
7
BCABCCB
二、题目解析
字符串\(Hash\)，宽搜
三种变化需要点心思，不过还好，用心模拟一下。
// 交换上下两行
string A(string t) {
// 1234 5678---> 8765 4321
// 使用瞪眼大法，发现开始位置与终止位置是关于中线对称的，即0<->7,1<->6,2<->5,3<->4,这样就简单了，直接i<->7-i
for (int i = 0; i < 4; i++) swap(t[i], t[7 - i]);
return t;
}
// 将最右边的一列插入到最左边
string B(string t) {
// 1234 5678 ---> 4123 6785
// 4向上冒泡,5向后冒泡
for (int i = 3; i > 0; i--) swap(t[i], t[i - 1]);
for (int i = 4; i < 7; i++) swap(t[i], t[i + 1]);
return t;
}
// 魔板中央对的4个数作顺时针旋转
string C(string t) {
// 1234 5678 ---> 1724 5368
/*
swap(t[1], t[2]) 1234 5678 -> 1324 5678 把第一个不匹配的数字放到合适位置上
swap(t[5], t[6]) 1324 5678 -> 1324 5768 把第二个不匹配的数字放到合适位置上
swap(t[1], t[5]) 1324 5768 -> 1724 5368 回到头，再把第一个不匹配的数字放到合适位置上
*/
swap(t[1], t[2]), swap(t[5], t[6]), swap(t[1], t[5]);
return t;
}
三、实现代码[带路径数组]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10; // 开小了会WA
unordered_map<string, int> dist; // 记录某个字符串，走没有走过，如果走过，那么是走了几步到达的
unordered_map<string, pair<char, string>> pre; // 记录某个字符串，它的前序操作符是ABC中的哪一个，它的前序字符串是什么
string start = "12345678"; // 起始态
string ed; // 目标态,需要输入进来
string q[N]; // 队列
// 交换上下两行
string A(string t) {
// 1234 5678---> 8765 4321
for (int i = 0; i < 4; i++) swap(t[i], t[7 - i]);
return t;
}
// 将最右边的一列插入到最左边
string B(string t) {
// 1234 5678 ---> 4123 6785
// 4向上冒泡,5向后冒泡
for (int i = 3; i > 0; i--) swap(t[i], t[i - 1]);
for (int i = 4; i < 7; i++) swap(t[i], t[i + 1]);
return t;
}
// 魔板中央的4个数作顺时针旋转
string C(string t) {
// 1234 5678 ---> 1724 5368
/*
swap(t[1], t[2]) 1234 5678 -> 1324 5678 把第一个不匹配的数字放到合适位置上
swap(t[5], t[6]) 1324 5678 -> 1324 5768 把第二个不匹配的数字放到合适位置上
swap(t[1], t[5]) 1324 5768 -> 1724 5368 回到头，再把第一个不匹配的数字放到合适位置上
*/
swap(t[1], t[2]), swap(t[5], t[6]), swap(t[1], t[5]);
return t;
}
void bfs() {
int hh = 0, tt = -1;
q[++tt] = start; // 起始点入队列
while (hh <= tt) {
string t = q[hh++];
if (t == ed) return; // 终点
string m[3] = {A(t), B(t), C(t)}; // 按ABC操作后产生的三种字符串
for (int i = 0; i < 3; i++) {
string x = m[i];
if (!dist.count(x)) { // 没有走过
q[++tt] = x;
dist[x] = dist[t] + 1;
pre[x] = {'A' + i, t}; // x的前序：t,是通过'A'+i方式转化过来的
}
}
}
}
int main() {
char x;
for (int i = 0; i < 8; i++) cin >> x, ed += x; // 拼接终止状态字符串
// 广搜
bfs();
// 输出距离
cout << dist[ed] << endl;
// 输出路径
string res;
// 如果操作序列的长度大于0，则在第二行输出字典序最小的操作序列。
if (dist[ed]) {
while (true) {
if (ed == start) break;
res += pre[ed].first; // 前序操作符，拼接路径，是反的,因为从最后的状态出发，找前序
ed = pre[ed].second; // 前序字符串
}
for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i--) cout << res[i];
}
return 0;
}
四、实现代码 [不带路径数组]
记录路径的题，不需要记录每步骤的距离，因为，最终路径的长度就是最短距离，这样可以省一个变量数组，少维护一个。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10; // 开小了会WA
unordered_map<string, pair<char, string>> pre; // 记录某个字符串，它的前序操作符是ABC中的哪一个，它的前序字符串是什么
string start = "12345678"; // 起始态
string ed; // 目标态,需要输入进来
string q[N]; // 队列
// 交换上下两行
string A(string t) {
// 1234 5678---> 8765 4321
for (int i = 0; i < 4; i++) swap(t[i], t[7 - i]);
return t;
}
// 将最右边的一列插入到最左边
string B(string t) {
// 1234 5678 ---> 4123 6785
// 4向上冒泡,5向后冒泡
for (int i = 3; i > 0; i--) swap(t[i], t[i - 1]);
for (int i = 4; i < 7; i++) swap(t[i], t[i + 1]);
return t;
}
// 魔板中央的4个数作顺时针旋转
string C(string t) {
// 1234 5678 ---> 1724 5368
/*
swap(t[1], t[2]) 1234 5678 -> 1324 5678 把第一个不匹配的数字放到合适位置上
swap(t[5], t[6]) 1324 5678 -> 1324 5768 把第二个不匹配的数字放到合适位置上
swap(t[1], t[5]) 1324 5768 -> 1724 5368 回到头，再把第一个不匹配的数字放到合适位置上
*/
swap(t[1], t[2]), swap(t[5], t[6]), swap(t[1], t[5]);
return t;
}
void bfs() {
int hh = 0, tt = -1;
q[++tt] = start; // 起始点入队列
while (hh <= tt) {
string t = q[hh++];
if (t == ed) return; // 终点
string m[3] = {A(t), B(t), C(t)}; // 按ABC操作后产生的三种字符串,按ABC顺序保证字典序最小
for (int i = 0; i < 3; i++) {
string x = m[i];
if (!pre.count(x)) { // 没有走过
q[++tt] = x;
pre[x] = {'A' + i, t}; // x的前序：t,是通过'A'+i方式转化过来的
}
}
}
}
int main() {
char x;
for (int i = 0; i < 8; i++) cin >> x, ed += x; // 拼接终止状态字符串
// 广搜
bfs();
// 输出路径
string res;
// 如果操作序列的长度大于0，则在第二行输出字典序最小的操作序列。
while (true) {
if (ed == start) break;
res += pre[ed].first; // 前序操作符，拼接路径，是反的,因为从最后的状态出发，找前序
ed = pre[ed].second; // 前序字符串
}
printf("%d\n", res.size());
// 倒着输出
for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%c", res[i]);
return 0;
}
