AcWing 1098. 城堡问题
\(AcWing\) \(1098\). 城堡问题
一、题目描述
1 2 3 4 5 6 7
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1 # | # | # | | #
#####---#####---#---#####---#
2 # # | # # # # #
#---#####---#####---#####---#
3 # | | # # # # #
#---#########---#####---#---#
4 # # | | | | # #
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(图 1)
# = Wall
| = No wall
- = No wall
方向：上北下南左西右东。
图\(1\)是一个城堡的地形图。
请你编写一个程序，计算城堡一共有多少房间，最大的房间有多大。
城堡被分割成 \(m∗n\) 个方格区域，每个方格区域可以有\(0\sim 4\)面墙。
注意：墙体厚度忽略不计。
输入格式
第一行包含两个整数 \(m\) 和 \(n\)，分别表示城堡南北方向的长度和东西方向的长度。
接下来 \(m\) 行，每行包含 \(n\) 个整数，每个整数都表示平面图对应位置的方块的墙的特征。
每个方块中墙的特征由数字 \(P\) 来描述，我们用\(1\)表示西墙，\(2\)表示北墙，\(4\)表示东墙，\(8\)表示南墙，\(P\) 为该方块包含墙的数字之和。
例如，如果一个方块的 \(P\) 为\(3\)，则 \(3 = 1 + 2\)，该方块包含西墙和北墙。
城堡的内墙被计算两次，方块\((1,1)\)的南墙同时也是方块\((2,1)\)的北墙。
输入的数据保证城堡至少有两个房间。
输出格式
共两行，第一行输出房间总数，第二行输出最大房间的面积（方块数）。
数据范围
\(1≤m,n≤50,0≤P≤15\)
输入样例：
4 7
11 6 11 6 3 10 6
7 9 6 13 5 15 5
1 10 12 7 13 7 5
13 11 10 8 10 12 13
输出样例：
5
9
二、前置知识
这道题的输入挺有意思，为一些数字，其实是理解为\(0 \sim 15\)的十进制数，转为二进制就是\((0000)_2 \sim (1111)_2\),这四个数位，是表示四个方向：
\(1\)表示西墙，\(2\)表示北墙，\(4\)表示东墙，\(8\)表示南墙
每个方向存在数字\(1\)表示此方向 有墙，\(0\)表示 无墙
用墙维起来的是房间,求 房间个数 和 最大面积
对于十进制转二进制，并输出二进制的每个数位的值，办法如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
//将十进制转为二进制，并输出每个二进制位的值是0还是1
int n = 13;
for (int i = 3; i >= 0; i--)//共4个数位
cout << (n >> i & 1) << " ";
return 0;
}
三、\(bfs\)宽度优先搜索
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 55, M = N * N;
int n, m;
int g[N][N]; // 地图
PII q[M]; // 队列
bool st[N][N]; // 标识是否走过
int dx[] = {0, -1, 0, 1}; // 左上右下
int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; // 西北东南 1 2 4 8 二进制位运算，参考1098_0.cpp
int bfs(int sx, int sy) {
int hh = 0, tt = -1;
q[++tt] = {sx, sy};
st[sx][sy] = true;
// 一次bfs跑一个连通块，统计一个连通块的面积
int area = 1; // 既然能入队列，最起码有入口房间，是一个面积
while (hh <= tt) {
PII t = q[hh++];
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int tx = t.x + dx[i], ty = t.y + dy[i];
if (tx == 0 || tx > n || ty == 0 || ty > m) continue;
if (st[tx][ty]) continue;
// 1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙
if (g[t.x][t.y] >> i & 1) continue; // 前进的方向上有墙
// 连通的房间入队列
q[++tt] = {tx, ty};
st[tx][ty] = true;
area++; // 入队列时房间面积++
}
}
return area;
}
int cnt, area; // 房间数，最大面积
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> g[i][j];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (!st[i][j]) {
// 从此点出发找连通块
area = max(area, bfs(i, j));
cnt++; // 记录连通块个数
}
printf("%d\n%d\n", cnt, area);
return 0;
}
四、\(dfs\)深度优先搜索 [\(void\)+全局变量法]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int g[N][N];
int st[N][N];
int n, m, ans; //注意这里的ans不能做为dfs参数进行传递，因为维护的是同一个变量
int dx[] = {0, -1, 0, 1}; //左上右上
int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; //西北东南 1 2 4 8 二进制位运算，参考1098_0.cpp
void dfs(int sx, int sy) {
st[sx][sy] = true; //标识此位置已访问过
ans++; //到达一个位置，那么面积肯定增大一个
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int x = sx + dx[i], y = sy + dy[i];
if (x == 0 || x > n || y == 0 || y > m) continue;
if (st[x][y]) continue;
if (g[sx][sy] >> i & 1) continue; //自带数位压缩表示法~,有墙
dfs(x, y);
}
}
int cnt, area;
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> g[i][j];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (!st[i][j]) {
cnt++; //连通块数量
ans = 0; //清零重新统计
dfs(i, j); //开始Flood Fill
area = max(area, ans); // PK目前的最大面积
}
//输出结果
printf("%d\n%d\n", cnt, area);
return 0;
}
五、\(dfs\)深度优先搜索 [\(int\)+参数变量法]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int g[N][N];
int st[N][N];
int n, m;
int dx[] = {0, -1, 0, 1}; // 左上右上
int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; // 西北东南 1 2 4 8 二进制位运算，参考1098_0.cpp
int dfs(int sx, int sy) {
st[sx][sy] = true; // 标识此位置已访问过
int ans = 1; // 自己贡献一个面积
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int tx = sx + dx[i], ty = sy + dy[i];
if (tx == 0 || tx > n || ty == 0 || ty > m) continue;
if (st[tx][ty]) continue;
if (g[sx][sy] >> i & 1) continue; // 自带数位压缩表示法~,有墙
ans += dfs(tx, ty); // 孩子们继续贡献面积
}
return ans; // 我们的总面积
}
int cnt, area;
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> g[i][j];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (!st[i][j]) {
cnt++; // 连通块数量
area = max(area, dfs(i, j)); // PK目前的最大面积
}
// 输出结果
printf("%d\n%d\n", cnt, area);
return 0;
}
六、总结与反思
- \(bfs\)时，需要注意一下起点的初始加入，标记个数++
- \(dfs\)时，也是在进入函数执行时，就意味着此位置可达，标识个数++
七、并查集解法
\(2022-10-08\)晚 补充
这道题难度并不大，只要熟练使用 并查集 即可。给我们一张地图，#代表墙壁，我们用1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙，将没有墙壁隔开的连通的方块记为一个房间，题目共有两问：
- 房间的总数
- 最大的房间的面积
这道题可以使用 并查集 和 \(FloodFill\) 来做，这里讲解一下使用 并查集 的做法。
我们可以从城堡 左上角 开始 逐行枚举，每次枚举 北边 和 东边 两个方向(当然，也可以是 南边 和 东边 两个方向)，就可以不漏的将可以连接在一起的房间都尽可能的连通，假设枚举到的位置的数\(p=9\)，我们需要枚举他东边的墙，我们只需要让\(p \& 4\)判断是否是\(1\)，若是\(1\)则证明 东边有墙 。当枚举到的方向没有墙的话，我们就是用 并查集 将这两个方块加入到一个连通块中，初始cnt=n*m，也就是开始的时候有n*m个房间，我们 连通一次，少一个房间，最后cnt就是房间的个数。
如图，共有五个房间：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55, M = N * N;
// 1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙
// 模拟向北和向东两个方向
int dx[] = {-1, 0}; // 向北走时，x-1,y不变；向东走时，x不变，y+1
int dy[] = {0, 1};
int dw[] = {2, 4}; // 2:北墙, 4:东墙
// 模拟向东和向南两个方向 也是可以的
// int dx[] = {0, 1}; //向东走时，x不变，y+1; 向南走时，x+1,y不变
// int dy[] = {1, 0};
// int dw[] = {4, 8}; // 4:东墙, 8：南墙
// 模拟向南向西 也是可以的
// int dx[] = {1, 0}; //向南走时，x+1,y不变；向西走时，x不变，y-1
// int dy[] = {0, -1};
// int dw[] = {8, 1}; // 8:南墙, 1:西墙
// 模拟向南向东 也是可以的
// int dx[] = {1, 0}; //向南走时，x+1,y不变；向东走时，x不变，y+1
// int dy[] = {0, 1};
// int dw[] = {8, 4}; // 8:南墙, 4:东墙
int n, m; // n行m列
int g[N][N]; // 地图
int p[M], sz[M]; // 并查集数组，与并查集内成员个数
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main() {
// 读入地图
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> g[i][j];
// 初始化并查集
for (int i = 0; i < M; i++) p[i] = i, sz[i] = 1; // 每个人是自己的祖先，并且自己家族的成员数量为1
int cnt = n * m, area = 1; // 总共最多有n*m个房间，最大面积最小是1
// 开始从上到下，从左到右，枚举每个位置
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
// 探讨这个位置的房间，是不是能够向北和向东两个方向前进，也就是检查向北和向东是不是会遇到墙
for (int u = 0; u < 2; u++)
if (!(g[i][j] & dw[u])) { // 如果没有遇到墙
int x = i + dx[u], y = j + dy[u]; // 获取新的位置
if (x <= 0 || x > n || y <= 0 || y > m) continue; // 出界判断
int a = (i - 1) * m + j, b = (x - 1) * m + y; // a是指原位置的编号,b是指拓展后位置的编号
// int a = i * m + j, b = x * m + y; //并查集的编号其实是很灵活的，不是非得啥号不可.上面的那行代码一样可以AC
// join 合并并查集
a = find(a), b = find(b);
if (a != b) {
cnt--; // 合并后，连通块的数量将少了一个
sz[b] += sz[a]; // a家族成员加入b家族中
p[a] = b; // a认b做父亲
area = max(area, sz[b]); // 更新答案
}
}
// 输出房间总数，输出最大面积
printf("%d\n%d\n", cnt, area);
return 0;
}
