2020 CSP-J 初赛排列组合试题解析

对数学中的排列组合数考虑了三道选择题，都有一定的难度，真的不知道在小学阶段参加这样的竞赛算不算是太超前~

排列数公式:

$$P_n^m=n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-m+1)$$

组合数公式:

$$C_n^m=\frac{P_n^m}{P_m}=\frac{n!}{m! \times (n-m)!},C_n^0=1$$

一、排队问题

第十题
五个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相邻，则有（ ）种不同排列方法？
先把双胞胎看成一个整体，最后再乘$2$,表示他俩内部可以排个先后。
这样的话，就是$4$个整体了，排列$4 \times 3 \times 2 \times 1 =24$种
因为双胞胎可以前后排序，需要乘以$2$,就是$48$ 种。

也可以使用插空法来计算：

二、分配方案问题

第十四题
$10$ 个三好学生名额分配到 $7$ 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（ ）种不同的分配方案。

三、手套和袜子成对问题

点评
手套和袜子成对问题是一种比较困难的题目，解决组合问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素。

问题1
从$6$双不同颜色的手套中任取$4$只,其中恰好有一双同色的取法有______种?

试题分析：根据分步计数原理知先从$6$双手套中任选一双，再从其余手套中任选$2$只，其中包含选到一双同色手套的选法，把不合题意的去掉，得到总的选法数。

解：根据分步计数原理知先从$6$双手套中任选一双有 $C_6^1$种取法，再从其余手套中任选$2$只有$C_{10}^2$种，其中选到一双同色手套的选法为$5$种．故总的选法数为$C_6^1 \times (C_{10}^2 -5)=240$种．故填写$240$。

问题2
现有$5$双不同颜色的手套（每双手套的两只颜色相同），从中任取$3$只，若取出的$3$只手套颜色各不相同，则这样的取法有多少种（　　）

$A．480$ $B．360$ $C．120$ $D．80$

解析：
若使取出的$3$只手套颜色各不相同，只需先取出三双手套，有$C_5^3 =10$种取法，
进而在取出的三双中，每双取出一只，有$2×2×2=8$种取法；
由分步计数原理可得，不同的取法有$10×8=80$种；
故选D．

问题3：
十五题 有五副不同颜色的手套（共 $10$ 只手套，每副手套左右手各 $1$ 只），一次性从中取 $6$ 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（ ）种。
$A、120$ $B、180$ $C、150$ $D、30$

解析：
取$6$只，组成两副手套，那么直接先在五副中选两副：$C_5^2=10$
两副是$4$只，要一共取$6$只，所以，还需要剩下的$6$副中选择两只，而且，这两只不能是同一副的。
$C_6^2-3=12$ 所以$10*12=120$ 答案选$A$