AcWing 1282. 搜索关键词

$AcWing$ $1282$. 搜索关键词

一、题目描述

给定 $n$ 个长度不超过 $50$ 的由小写英文字母组成的单词，以及一篇长为 $m$ 的文章。

请问，其中有多少个单词在文章中出现了。

注意：每个单词不论在文章中出现多少次，仅累计 $1$ 次。

输入格式
第一行包含整数 $T$，表示共有 $T$ 组测试数据。

对于每组数据，第一行一个整数 $n$，接下去 $n$ 行表示 $n$ 个单词，最后一行输入一个字符串，表示文章。

输出格式
对于每组数据，输出一个占一行的整数，表示有多少个单词在文章中出现。

数据范围
$1≤n≤10^4,1≤m≤10^6$

输入样例：

1
5
she
he
say
shr
her
yasherhs

输出样例：

3

二、$AC$自动机图解

1、$AC$自动机与$kmp$的区别

算法	使用场景
$KMP$	单文本串，单模式串
$AC$自动机	单文本串，多模式串

2、推荐视频

视频讲解

3、算法步骤

$AC$自动机:在$Trie$树的基础上，增加一个 失配 时用的fail指针，如果当前点匹配失败，则将指针转移到fail指针指向的地方，这样就可以不用重头再来, 尽可能的利用已经知道的信息，能少退就少退 ,fail 指针的构建用 bfs 实现。

• ① 根据多个模式串建立$Trie$树
• ② 构建失配指针
• ③ 在构建的$AC$自动机上跑文本串

举栗子说明

只需要 遍历一遍文本串 就 找出所有单词表中存在的单词:

　先根据模式串集合{she,he,say,shr,her}建立$Trie$树,如图，然后拿着yasherhs去匹配:

• 发现前两个字符无法匹配，跳过
• 第三个字符开始，she可以匹配，记录下来,ans++，继续往后走发现没有匹配了，结果就是该文本串只存在一个单词she，很显然，答案是错的，因为存在she、he、her三个单词！

　可以发现的是使用文本串在字典树上进行匹配的时候，找到了一个单词结点后还应该看看有没有以该单词结点的后缀为 前缀 的其他单词，比如she的后缀he是单词he和her的前缀。因此就需要一个 失配指针 在发现失配的时候指向其他存在e的结点，就通过fail指针的指引，跳到$root->he$这个位置，此时发现e有黄色标识，就是又找到一个模式串he,继续下一个字符,是$r$,发现后续可以匹配,匹配her了...

　总的来说，$AC$自动机中失配指针和$KMP$中$ne$数组的作用是一致的，就是 要想在只遍历一遍文本串的前提下，找到全部匹配模式串，就必须提前安排好匹配过程中失配后怎么办。如果在在$Trie$树上构造 失配指针 ,就是学习如何构造$AC$自动机。

4、构建失配指针(构造$AC$自动机)

办法如下：

• 根结点的$ne$指针为空（或者它自己）

注释：类比$kmp$,模式串的第一位，$ne[1]=0$,退无可退，无法再退

• 直接和根结点相连的结点，如果这些结点失配，就只能重新开始匹配，故它们的ne指针指向根结点

• 其它结点，设当前结点为father,其孩子结点为child。要寻找child的ne指针，需要看father的ne指针指向的结点，假设是tmp,要看tmp的孩子中有没有和child所代表的字符相同的，有则child的ne指针指向tmp的这个孩子结点，没有则继续沿着tmp的ne指针往上走，如果找到相同，就指向，如果一直找到了根结点的ne也就是空的时候，child的ne指针就指向root，表示重新从根结点开始匹配。

考察father的ne指针指向的结点有没有和child相同的结点，否则继续往上，就保证了前缀是相同的，比如刚才寻找右侧h的孩子结点e的fail指针时，找到右侧h的fail指针指向左侧的h结点，他的孩子中有e，就将右侧h的孩子e的fail指针指向它就保证了前缀h是相同的。

　　这样，就用fail指针来安排好每次失配后应该跳到哪里，而fail指针跳到哪里，说明从根结点到这个结点之前的字符串已经匹配过了，从而避免了重复匹配，也就解决了只遍历一次文本串就找出所有单词的问题。

5、匹配过程

匹配就很简单了，这里以 ashw 为例：
先用 ash 匹配，到 h 了发现，ash 是一个完整的模式串，则$ans++$，然后找下一个 w，可是 ash 后面没字母了呀，我们就跳到 h 的 $fail$ 指针指向的那个 h 继续找，还是没有 ? 再跳，结果当前的 h 指向的是根节点，又从根节点找,然而还是没有找到 w，匹配结束（假设如果有w的话，那么模式串shw就可以匹配上ashw）。流程图如下：

三、朴素版本【不推荐，学习用】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 55 * 1e4 + 10; // n个单词
const int M = 1e6 + 10;      // 长度为m的文章

int n;
int tr[N][26], cnt[N], idx; // Trie树，每个结点的结束标识数组cnt,结点号计数器idx,二维代表最多可能有26条不同走向的边
char s[M];                  // 字符串数组
int q[N], ne[N];            // AC自动机构建需要的队列和失配指针

// Trie树构建
void insert(char *s) {
    int p = 0;
    for (int i = 0; s[i]; i++) {
        int t = s[i] - 'a';
        if (!tr[p][t]) tr[p][t] = ++idx;
        p = tr[p][t];
    }
    cnt[p]++;
}

// 构建AC自动机
void build() {
    int hh = 0, tt = -1;
    // 树根和树根下一层的失配边都连到树根上，所以从树根下一层开始bfs
    for (int i = 0; i < 26; i++)
        if (tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];

    while (hh <= tt) {
        int t = q[hh++];
        for (int i = 0; i < 26; i++) { // u节点有哪些出边
            int p = tr[t][i];          // v是 u通过i这条边到达的子节点
            if (!p) continue;          // 如果v并不存在,就直接返回

            int j = ne[t];                    // u的失配指针指向了j
            while (j && !tr[j][i]) j = ne[j]; // p需要它父亲u的失配指针j=ne[t]出发，一直跳到有i这条边为止,当然，也可能跳到了根也找不到i这条边
            if (tr[j][i]) ne[p] = tr[j][i];   // 如果最终的停止节点j，有i这条边，则进入tr[j][i]这个点，这个点就是节点v失配后的指向节点。当然，ne[j]也可能跳回了根
                                              // 填充儿子节点v的失配指针为它父亲给找的最佳匹配j

            q[++tt] = p; // 将节点v放入队列
        }
    }
}

int query(char *s) {
    int res = 0;
    int j = 0; // 从root=0开始对AC自动机进行查找
    for (int i = 0; s[i]; i++) {
        int t = s[i] - 'a';
        while (j && !tr[j][t]) j = ne[j]; // 一直跳到有t这条边的节点处或者跳到root停止
        if (tr[j][t]) j = tr[j][t];

        // 累加计数
        int p = j;
        while (p && ~cnt[p]) {
            res += cnt[p];
            cnt[p] = -1; // 取消标识
            p = ne[p];
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;

    while (T--) {
        memset(tr, 0, sizeof tr);
        memset(cnt, 0, sizeof cnt);
        memset(ne, 0, sizeof ne);
        idx = 0;

        // Trie树
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> s;
            insert(s);
        }

        // ac自动机
        build();

        // 查询
        cin >> s;
        printf("%d\n", query(s));
    }
    return 0;
}

　
其实，这是一个不断回溯的过程，在代码实现时，我们采用的是$while$循环或者递归来不断的向上进行查找，但这样效率上会差一些。有没有更好的办法呢？这得益于我们采用的$bfs$策略，我们通过自顶向下的覆盖方式，将上面的信息继承到下面去，换句话说，就是不用儿子去找父亲问，父亲再找爷爷问，这太麻烦了，而且爷爷将答案准备好，告诉父亲，父亲将答案保存好，儿子可以直接获取到。这时就不再是一个$Trie$树了，而是一个$Trie$图了,类似于并查集的路径压缩~

四、$Trie$图优化版本【需背诵】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 55 * 1e4 + 10;
const int M = 1e6 + 10;

int n;
int tr[N][26], cnt[N], idx;
char s[M];
int q[N], ne[N];

// 标准的Trie树构建
void insert(char *s) {
    int p = 0;
    for (int i = 0; s[i]; i++) {
        int t = s[i] - 'a';
        if (!tr[p][t]) tr[p][t] = ++idx;
        p = tr[p][t];
    }
    cnt[p]++;
}

// 构建失配指针
void bfs() {
    int hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 0; i < 26; i++)
        if (tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];

    while (hh <= tt) {
        int p = q[hh++];
        for (int i = 0; i < 26; i++) {
            int &c = tr[p][i];        // p:父节点,c:子节点,&：引用，可以向c赋值，等同于向tr[p][i]赋值
            if (c) {                  // 如果点c存在
                ne[c] = tr[ne[p]][i]; // 为点c填充失配数组ne,当点c失配时，跳到它父亲记录好的tr[ne[p]][i]位置上去,而它的父亲对应值，是记录了祖先传递下来的，不用再回溯求递归求解
                q[++tt] = c;          // 入队列，为后续填充做准备
            } else
                c = tr[ne[p]][i]; // 如果不存在，这个位置需要不需进行记录值呢？如果不用的话，那么后面再有指望它来提供信息的，就狒狒了，既然要递推，就要保证数据的完整
                                  // 那怎么办呢？答案就是也依赖于它的真系血亲进行数据传递，说白了，就是自己这不匹配了，那么需要去哪里匹配呢？还不想用while向上递归，那就需要向下传递时记录清楚呗。
            // 这个真系血亲是和c点拥有最长公共前后缀的节点，跳到它那里去
        }
    }
    // ① 遍历完第i-1层时，会求出第i层节点的ne值(可不一定都在i-1层啊)；也就是说遍历到第i层的时候第i层的ne值已知。
}

// 跑一下文本串
int query(char *s) {
    int res = 0;
    int j = 0;                   // 在Trie中游走的指针j, 从根开始对AC自动机进行查找
    for (int i = 0; s[i]; i++) { // 枚举文本串每个字符
        int t = s[i] - 'a';      // 字符映射的边序号

        while (j && !tr[j][t]) j = ne[j]; // 如果没有回退到根，并且，当前游标位置没有t这条边，继续利用失配指针回退
        if (tr[j][t]) j = tr[j][t];       // 如果命中，停下来，找到匹配的失配节点

        // 统计在当前失配节点向根游走，有多少个完整的模式串被命中
        int p = j;
        while (p && ~cnt[p]) {
            res += cnt[p]; // 记录个数
            cnt[p] = -1;   // 取消标识,一个模式串就算命中多次，也计数为1。测试用例中有重复的模式串，所以cnt[p]可能大于1
            p = ne[p];     // 不断向上回退
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        // 多组测试数组，初始化AC自动机
        memset(tr, 0, sizeof tr);
        memset(cnt, 0, sizeof cnt);
        memset(ne, 0, sizeof ne);
        idx = 0;

        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> s;
            insert(s); // 构造Trie树
        }
        // 利用bfs构建Trie树的fail指针，也就是AC自动机
        bfs();

        // 输入文本串开始进行查询
        cin >> s;
        printf("%d\n", query(s));
    }
    return 0;
}

五、$Q$:为什么没有边时也需要进行赋值呢,我看原始版本没有这样的代码啊?

答：其实$AC$自动机就是一个$Trie+Fail$数组构建的过程，$bfs$由上到下去构建，还想不用$while$循环防止每次都向上查询，就想着从上到下时把信息都填充完整，这样下面用时就不用担心了，（线性$DP$的思路啊~），也就是在第$i$个节点填充$ne[i]$时，它前面的$i-1$都得是已经填充完整的状态，否则无法实现转移。

那如果现在$p$不存在，那就啥不做的话，如果后续节点中有问它这个问题，想找是不是以$p$出发有边$i$时，它可以说没有，人家问那我继续找谁问啊，他说我也不知道，供应链条就断开了，这肯定不行。

那怎么办呢？还得在由上到下的填充过程中想办法，使得就算是不存在的位置，也需要需要退回到哪里去！

退到哪里去呢？就是从当前的视角看，就是退回到离它最近的血缘关系最近的那个节点，也就是有最长公共前后缀的节点吧~，我只能转给它来回答，至它有没有知道不知道，那是它的问题!这是采用的办法就是 李代桃僵！直接将此位置的节点号写成上面血亲的号吧！有人问时，直接就不找我了，直接找它了，呵呵，爽！但它血亲也是这么想的，也可能没有i这条边，所以，它也是抄的上面传递过的值，这样，一个抄一个，问到不知道的，其实就直接没经过它走到了它上$N$级血亲有$i$边的节点上去了，当然，也可能跳到了根。