背包问题-方案数-空间至多j
背包问题-方案数-空间至多\(j\)
一、\(01\)背包
例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品只能选一个，求总体积 不超过\(m\)的 方案数。
求方案数，没有价值累加的概念。
输入
//物品个数 体积
//每个物品的体积
4 5
2 2 3 7
输出
7
理解一下
一个都不选
a[0]
a[1]
a[2]
a[0]+a[1]
a[0]+a[2]
a[1]+a[2]
1、二维
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N][N];//第一维：前i个物品，第二维：体积j及以下
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化,在前0个物品中选，所有合法空间，都有一种结果，就是啥也不要，啥也不要也满足“不超过j”这个条件，方案数=1。
for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v;
scanf("%d",&v);
for (int j = 0; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j];//不被i件物品
if (j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];//能装下就要加上可以转移过来状态的方案数
}
}
printf("%d\n",f[n][m]);
return 0;
}
2、一维
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N];
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 0; i <= m; i++) f[i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v;
scanf("%d",&v);
for (int j = m; j >= v; j--) f[j] += f[j - v];
}
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
二、完全背包
例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品可以选无数多个，求总体积不超过\(m\)的 方案数
输入
3 5
2 3 7
输出
5
理解一下：
一个都不选
a[0]
a[0]*2
a[1]
a[0]+a[1]
共\(5\)种方案。
1、二维
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N][N];
int main() {
//文件输入
freopen("ZhiDuo_WQ.in", "r", stdin);
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = 1; //前0种物品中选择，最多不超过m的体积下，选择的方案只有一种合法，就是啥也不选
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v;
scanf("%d", &v);
/*写法1*/
for (int j = 0; j <= m; j++) {
if (j >= v)
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - v];
//注意这里与01背包的差别！！！
// 在01背包的状态转移中，i就是i,它之前不能出现过i,只能从i-1转移
// 在完全背包的状态转移中，i出现过没关系，只要能装下，出现几个都行，可以从i转移
// 01背包：
// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - v];
else
f[i][j] = f[i - 1][j];
}
/*写法2*/
// for (int j = 0; j <= m; j++) {
// f[i][j] = f[i - 1][j];
// if (j >= v) f[i][j] += f[i][j - v];
// }
}
printf("%d\n", f[n][m]);
return 0;
}
2、一维
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N];
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 0; i <= m; i++) f[i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v;
scanf("%d",&v);
//完全背包
for (int j = v; j <= m; j++) f[j] += f[j - v];
//对比01背包
//for (int j = m; j >= v; j--) f[j] += f[j - v];
}
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
练习题
洛谷 P1832
欧筛下标从1开始
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5;
LL f[N][N];
//欧拉筛,下标从1开始
//这个欧拉筛黄海修改过，修改下标从1开始
int primes[N], st[N], cnt;
void get_primes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!st[i]) primes[++cnt] = i;
for (int j = 1; primes[j] * i <= n; j++) {
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int main() {
int m;
scanf("%d", &m);
get_primes(m); // 1 ~ m以内有cnt个素数
int n = cnt;
for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; //初始化，如果刚好只可以选一个数，即j == primes[i]，那么只有一种方案。
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
/*
// j足够大，那么对于一个素数可以选，或是不选。两种方案要求总和。
if (j >= primes[i])
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - primes[i]];
else
f[i][j] = f[i - 1][j]; // j不够大，只有不选这一种方案。
*/
//与上面的代码是等价的，一样可以AC
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= primes[i]) f[i][j] += f[i][j - primes[i]];
}
}
printf("%lld\n", f[n][m]);
return 0;
}
欧筛下标从0开始
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5;
LL f[N][N];
//欧拉筛
int primes[N], st[N], cnt;
void get_primes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int main() {
int m;
scanf("%d", &m);
get_primes(m); // 1 ~ m以内有cnt个素数
int n = cnt;
for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; //初始化，如果刚好只可以选一个数，即j == primes[i]，那么只有一种方案。
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
/*
// j足够大，那么对于一个素数可以选，或是不选。两种方案要求总和。
if (j >= primes[i])
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - primes[i]];
else
f[i][j] = f[i - 1][j]; // j不够大，只有不选这一种方案。
*/
//与上面的代码是等价的，一样可以AC
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= primes[i - 1]) f[i][j] += f[i][j - primes[i - 1]];
}
}
printf("%lld\n", f[n][m]);
return 0;
}
