【总结】背包问题的至多/恰好/至少

原贴

一、学习过程总结

一开始学背包问题时遇到的大多数的状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积至多是$j$的问题。

慢慢地在提高课中，就有出现状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积恰好是$j$的问题。例如 $AcWing$ $1023$. 买书 ，求的是恰好是$j$的总方案数问题。

同时还出现了状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积至少是$j$的问题。例如 $AcWing$ $1020$. 潜水员 ，求的是总体积至少是$j$的最小价值。

二、求方案数初始化总结

二维情况

1. 体积至多$j$ 【$01$+完全】
   $f[0][i] = 1$, $0 <= i <= m$，其余是$0$ 示例

   初始化解释：
   用前$0$种物品，在小于$i$的空间内，方案数是$1$,表示由于啥也不能选择，所以不管是哪个空间，都只能有一种方案，就是啥也不选。
   
   

2. 体积恰好$j$ 【$01$+完全】
   $f[i][0] = 1$, 其余是$0$ 示例

   初始化解释:
   在前$i$种物品中选择，恰好空间为$0$的方案数，只能是啥也不选。

3. 体积至少$j$ 【只$01$背包】
   $f[0][0] = 1$, 其余是$0$ 示例

   初始化解释:
   在前$0$种物品中选择，空间至少为$0$的方案数，只能是啥也不选

一维情况

1. 体积至多$j$, $f[i] =1$, $0 <= i <= m$ 示例
2. 体积恰好$j$, $f[0] =1$, 其余是$0$ 示例
3. 体积至少$j$, $f[0] =1$, 其余是$0$ 示例

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三、求最大值最小值初始化总结

二维情况

1. 体积至多$j$ 【$01$+完全】
   $f[i,j] = 0$，$0 <= i <= n, 0 <= j <= m$（ 只会求价值的最大值）示例

2. 体积恰好$j$:
   当求价值的最小值：$f[0][0] = 0$, 其余是$INF$ 示例
   当求价值的最大值：$f[0][0] = 0$, 其余是$-INF$ 示例

3. 体积至少$j$，$f[0][0] = 0$，其余是$INF$（只会求价值的最小值） 示例

一维情况

1. 体积至多$j$，$f[i] = 0, 0 <= i <= m$（ 只会求价值的最大值） 示例
2. 体积恰好$j$: 【$01$+完全】

• 当求价值的最小值：$f[0] = 0$, 其余是$INF$ 示例
• 当求价值的最大值：$f[0] = 0$, 其余是$-INF$ 示例

3. 体积至少$j$，$f[0] = 0$，其余是$INF$（只会求价值的最小值） 示例

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