【总结】背包问题的至多/恰好/至少

原贴

一、学习过程总结

一开始学背包问题时遇到的大多数的状态表示是：从前\(i\)个物品中选，且总体积至多是\(j\)的问题。

慢慢地在提高课中，就有出现状态表示是：从前\(i\)个物品中选，且总体积恰好是\(j\)的问题。例如 \(AcWing\) \(1023\). 买书 ，求的是恰好是\(j\)的总方案数问题。

同时还出现了状态表示是：从前\(i\)个物品中选，且总体积至少是\(j\)的问题。例如 \(AcWing\) \(1020\). 潜水员 ，求的是总体积至少是\(j\)的最小价值。

二、求方案数初始化总结

二维情况

1. 体积至多\(j\) 【\(01\)+完全】
   \(f[0][i] = 1\), \(0 <= i <= m\)，其余是\(0\) 示例

   初始化解释：
   用前\(0\)种物品，在小于\(i\)的空间内，方案数是\(1\),表示由于啥也不能选择，所以不管是哪个空间，都只能有一种方案，就是啥也不选。
   
   

2. 体积恰好\(j\) 【\(01\)+完全】
   \(f[i][0] = 1\), 其余是\(0\) 示例

   初始化解释:
   在前\(i\)种物品中选择，恰好空间为\(0\)的方案数，只能是啥也不选。

3. 体积至少\(j\) 【只\(01\)背包】
   \(f[0][0] = 1\), 其余是\(0\) 示例

   初始化解释:
   在前\(0\)种物品中选择，空间至少为\(0\)的方案数，只能是啥也不选

一维情况

1. 体积至多\(j\), \(f[i] =1\), \(0 <= i <= m\) 示例
2. 体积恰好\(j\), \(f[0] =1\), 其余是\(0\) 示例
3. 体积至少\(j\), \(f[0] =1\), 其余是\(0\) 示例

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三、求最大值最小值初始化总结

二维情况

1. 体积至多\(j\) 【\(01\)+完全】
   \(f[i,j] = 0\)，\(0 <= i <= n, 0 <= j <= m\)（ 只会求价值的最大值）示例

2. 体积恰好\(j\):
   当求价值的最小值：\(f[0][0] = 0\), 其余是\(INF\) 示例
   当求价值的最大值：\(f[0][0] = 0\), 其余是\(-INF\) 示例

3. 体积至少\(j\)，\(f[0][0] = 0\)，其余是\(INF\)（只会求价值的最小值） 示例

一维情况

1. 体积至多\(j\)，\(f[i] = 0, 0 <= i <= m\)（ 只会求价值的最大值） 示例
2. 体积恰好\(j\): 【\(01\)+完全】

• 当求价值的最小值：\(f[0] = 0\), 其余是\(INF\) 示例
• 当求价值的最大值：\(f[0] = 0\), 其余是\(-INF\) 示例

3. 体积至少\(j\)，\(f[0] = 0\)，其余是\(INF\)（只会求价值的最小值） 示例

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