AcWing 303. 运输小猫

\(AcWing\) \(303\). 运输小猫

一、题目描述

小 \(S\) 是农场主，他养了 \(M\) 只猫，雇了 \(P\) 位饲养员。

农场中有一条笔直的路，路边有 \(N\) 座山，从 \(1\) 到 \(N\) 编号。

第 \(i\) 座山与第 \(i−1\) 座山之间的距离为 \(D_i\)。

饲养员都住在 \(1\) 号山。

有一天，猫出去玩。

第 \(i\) 只猫去 \(H_i\) 号山玩，玩到时刻 \(T_i\) 停止，然后在原地等饲养员来接。

饲养员们必须回收所有的猫。

每个饲养员沿着路从 \(1\) 号山走到 \(N\) 号山，把各座山上已经在等待的猫全部接走。

饲养员在路上行走需要时间，速度为 \(1\) 米/单位时间。

饲养员在每座山上接猫的时间可以忽略，可以携带的猫的数量为无穷大。

例如有两座相距为 \(1\) 的山，一只猫在 \(2\) 号山玩，玩到时刻 \(3\) 开始等待。

如果饲养员从 \(1\) 号山在时刻 \(2\) 或 \(3\) 出发，那么他可以接到猫，猫的等待时间为 \(0\) 或 \(1\)。

而如果他于时刻 \(1\) 出发，那么他将于时刻 \(2\) 经过 \(2\) 号山，不能接到当时仍在玩的猫。

你的任务是规划每个饲养员从 \(1\) 号山出发的时间，使得所有猫等待时间的总和尽量小。

饲养员出发的时间可以为负。

输入格式
第一行包含三个整数 \(N，M，P\)。

第二行包含 \(n−1\) 个整数，\(D_2,D_3,…,D_N\)。

接下来 \(M\)行，每行包含两个整数 \(H_i\) 和 \(T_i\)。

输出格式
输出一个整数，表示所有猫等待时间的总和的最小值。

数据范围
\(2≤N≤10^5,1≤M≤10^5,1≤P≤100,1≤D_i<1000,1≤H_i≤N,0≤T_i≤10^9\)

输入样例：

4 6 2
1 3 5
1 0
2 1
4 9
1 10
2 10
3 12

输出样例：

3

二、分析

题意比较复杂，首先要明白的是 一个饲养员 某时刻 出发，能够 接走哪些猫，或者说，要满足什么条件的 猫 才能够被 该饲养员 接走，显然只需要 到达 某只猫所在山的时候,猫已经 玩完 了就可以接走猫了。

下面来思考 某个饲养员+某只猫 的 常规 情况：

设饲养员出发的时间是\(st\)，某只猫 在第\(h_i\)座山上玩，并且，要玩到\(t_i\)时间，该饲养员能够接走该猫需要 出发时间 + 赶路时间 >= 此猫玩耍的结束时间

\[\large st + sd_{h_i} >= t_i \]

① \(sd\):\(d\)的前缀和,描述每座山距离一号山的距离,此题中\(t_i\)不用做前缀和。
② \(t_i<=st+sd_{h_i}\)，表示\(t_i\)小，从时间方向思考，就是先到这个时间点，也就是玩完时间先到达，然后小猫开始等待人来接它，后面的是饲养员的到达时间。

此时可以接走这只猫，当讨论到具体某只猫时，\(sd_{h_i}\)和\(t_i\)都是 固定 的，而 饲养员 的 出发时间 \(st\) 是可以变化的。\(st\)时刻出发，可以接走 剩下猫 中的满足下面式子\(t_i<=st + sd_{h_i}\)的 所有小猫。

令：\(\large a_i=t_i-sd_{h_i}\),问题变成\(st\)时刻出发，此饲养员可以接走\(a_i<=st\)的 所有小猫。

重点： 将 \(\large a_i\) 自小到大 排序，方便确定饲养员在\(st\)时刻出发，能够接走 哪些小猫

注:
极限思考法：我们认为饲养员可以瞬移，不管距离有多远，都可以\(0\)秒到达。

为了满足这个要求，那么需要把与每只小猫相关的时间，都 划归 到每只小猫的 游玩 时间上。

举栗子：
假设\(1\)号小猫，原游玩时长为\(10\)小时，距离\(1\)号山\(8\)个长度,那么饲养员在\(2\)点出发，可以在到达时 直接 接走\(1\)号小猫，可以视为小猫\(1\)的游玩时间是\(10-8=2\),这个\(2\),我把它重新定义为 游玩时间。

这个 游玩时间 在概念上就有了变化，在几号山就不再重要（因为消化到转换后的 游玩时间 里了）,按新产生的 游玩时间 由小到大进行排序，就是它们被接走的 顺序。

继续思考，如果只有\(1\)名饲养员,那他必须在 游玩时间最长 小猫的结束后，通过 瞬移大法 完成接猫工作，这样才能保证前面的小猫也都玩完了，可以一并接走，这样的话，需要晚点出发，除最后一只小猫外，前面的小猫多等一会也是没办法的事，否则无法接走所有小猫。

如果有\(2\)个饲养员呢？情况就会好一些：\(1\)号\(2\)点出发，接走按 游玩时间 由小到大排序后的\(1,2,3\)小猫，\(2\)号饲养员\(3\)点出发，接走\(4,5,6\)小猫,这样会使小猫的整体等待时间变少。

闫式\(DP\)分析法

状态表示

集合
\(\large f[i][j]\):前\(i\)个 饲养员 接走 排好序 的前\(j\)只猫的 所有方案

注：此处排好序是指在 瞬移大法 的前提下，重新计算的 游玩时间 由小到大排序。

属性
所有方案的 最小等待时间和

转移方程

\[\large f[i][j] = min(f[i-1][k] + a_j*(j-k)-(s_j-s_k))\ k \in [0,j) \]

注:

• 前\(i-1\)个饲养员 已经 接走了 前\(k\)只小猫>，\(k + 1 \sim j\)只小猫由 第\(i\)个饲养员 接走

• \(\large a_j\):第\(j\)只猫的 玩完时间 减去 山的距离，也就是 第\(i\)个饲养员出发的时间
  此阶段，需要接走\(k+1 \sim j\)只小猫，那么第\(i\)位出发的饲养员，出发时间\(st=a_j\)。
  为啥呢？因为此时接到\(j\)个小猫时，等待时间为零，如果提前出发，则到达时无法完成接\(j\)小猫的任务；如果延误出发，则会让\(j\)号小猫多等，不划算。所以，只能是在\(a_j\)这个时间出发，最合理。(贪心)

• 此区间\([k+1\sim j]\),每只猫的 等待时间 分别是$$\large a_j - a_{k+1},a_j - a_{k+2},...,a_j-a_j \ \Rightarrow
  \a_j \times (j-k) - (a_{k+1} + a_{k+2} + ...+a_j) \ \Rightarrow \ a_j \times (j-k)-(s_j-s_k)$$

  \(\displaystyle s_j=\sum_{u=1}^{j}a[u],s_k=\sum_{u=1}^{k}a[u],s_j-s_k=\sum_{u=k+1}^{j}a[u]\)

设\(k\)是使得\(f_{i,j}\)取得最小值的那个\(k\)【最佳转移点】,则$$\large f_{i,j} = f_{i-1,k} + a_j \times (j-k)-(s_j-s_k)$$

变形原则

• 当前选择的转移点\(k\)是变化量，将原始的\(k\)相关的式子视为 自变量(\(x\)) 式子
• 由\(k\)变化后影响结果的式子 视为 因变量(\(y\)) 式子
• 自变量前面的系数，如果是常数的话，那么视为 斜率

如此处理后，变形：

\[\large f_{i-1,k}+s_k=a_j\times k+f_{i,j}+s_j-a_j\times j \]

于是我们把转移方程写成了 \(y=kx+b\) 的形式，其中：

\(\large \left\{\begin{array}{l} x=k & 自变量\\ y=f_{i−1,k}+s_k & 因变量\\ k=a_j & 常数，视为斜率\\ b=f_{i,j}+s_j−a_j×j & 在斜率固定情况下y轴截距\\ \end{array}\right. \)

由于 \(x,k\) 都是非严格单调递增，可以用单调队列做斜率优化，时间复杂度 \(O(M×P)\)

① 首先要明确 目标: 找出 \(min(f[i][j])\)，也就是在给出\(i\)名饲养员，完成接走\(j\)只小猫，需要小猫整体的等待时间最少。
② \(\large k=a_j\),此时\(j\)是枚举到的固定值，即斜率是固定的，不断向下凸壳逼近，试图找到与下凸壳的交点,此时产生的截距\(b\)最小
② \(\large b=f_{i,j}+s_j−a_j×j\),当\(b\)最小时，因为此时\(s_j−a_j×j\)是固定值，也就是\(f_{i,j}\)最小

\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010;
const int P = 110;
int n, m;
int p;
int q[N];

LL d[N], t[N];
LL a[N], s[N];
LL f[P][N];
int h;

int main() {
    cin >> n >> m >> p;

    for (int i = 2; i <= n; i++) cin >> d[i], d[i] += d[i - 1]; // 从2开始
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> h >> t[i], a[i] = t[i] - d[h], s[i] = s[i - 1] + a[i];
    sort(a + 1, a + m + 1); // 由小到大排序,m只小猫

    // dp初始
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    for (int i = 0; i <= p; i++) f[i][0] = 0; // 出动i个饲养员，接0只小猫，等待0。将DP TABLE第一列修改为0

    for (int i = 1; i <= p; i++) {     // 饲养员
        int hh = 0, tt = 0;            // 哨兵
        for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历小猫
            // 凸包的斜率单调上升，并且，直线的斜率也是单调上升
            // 准备在下凸壳中找到第一个斜率大于k的直线，小于k的全部剔除
            while (hh < tt && (f[i - 1][q[hh + 1]] + s[q[hh + 1]] - f[i - 1][q[hh]] - s[q[hh]]) <= a[j] * (q[hh + 1] - q[hh]))
                hh++;
            // 推出的公式
            f[i][j] = f[i - 1][q[hh]] + a[j] * (j - q[hh]) - (s[j] - s[q[hh]]);
            // 维护下凸壳 [下面是 k=(y1-y2)/(x1-x)的PK，大的干掉。同时，为了避免除法，采用了十字相乘法变形]
            while (hh < tt && (f[i - 1][j] + s[j] - f[i - 1][q[tt]] - s[q[tt]]) * (q[tt] - q[tt - 1]) <= (f[i - 1][q[tt]] + s[q[tt]] - f[i - 1][q[tt - 1]] - s[q[tt - 1]]) * (j - q[tt]))
                tt--;
            // 加入
            q[++tt] = j;
        }
    }
    cout << f[p][m] << endl;
    return 0;
}

三、总结

要注意相减顺序，在去除队首\(<=k\)的点时

 while (hh < tt && (f[i - 1][q[hh + 1]] + s[q[hh + 1]] - f[i - 1][q[hh]] - s[q[hh]]) <= a[j] * (q[hh + 1] - q[hh]))
                hh++;

如果是\(hh+1 -> hh\) 就是\(<=\) ，如果是\(hh -> hh+1\)就是\(>=\) 虽然算斜率，两点谁减谁都一样，但是咱们把分母乘过去，负数不等式要变号。队尾斜率计算同理。