AcWing 1088 旅行问题
\(AcWing\) \(1088\) 旅行问题
一、题目描述
\(John\) 打算驾驶一辆汽车周游一个环形公路。
公路上总共有 \(n\) 个车站，每站都有若干升汽油（有的站可能油量为零），每升油可以让汽车行驶一千米。
\(John\) 必须从某个车站出发，一直按顺时针（或逆时针）方向走遍所有的车站，并回到起点。
在一开始的时候，汽车内油量为零，\(John\) 每到一个车站就把该站所有的油都带上（起点站亦是如此），行驶过程中不能出现没有油的情况。
任务：判断以每个车站为起点能否按条件成功周游一周。
输入格式
第一行是一个整数 \(n\)，表示环形公路上的车站数；
接下来 \(n\) 行，每行两个整数 \(p_i,d_i\)，分别表示表示第 \(i\) 号车站的存油量和第 \(i\) 号车站到 顺时针方向 下一站的距离。
输出格式
输出共 \(n\) 行，如果从第 \(i\) 号车站出发，一直按顺时针（或逆时针）方向行驶，能够成功周游一圈，则在第 \(i\) 行输出 TAK，否则输出 NIE。
数据范围
\(3≤n≤10^6,0≤p_i≤2×10^9\),\(0≤d_i≤2×10^9\)
输入样例：
5
3 1
1 2
5 2
0 1
5 4
输出样例：
TAK
NIE
TAK
NIE
TAK
二、题意理解
给定一个 环，环 上有 \(n\) 个节点，编号从 \(1∼n\)，以及一辆小车车
每一个 节点 \(i\) 有一个 权值 \(p_i\) 表示当车 到达该点 时，可以 获得 的 油量
还有一个 权值 \(d_i\) 表示当车从 节点 \(i\) 到 节点 \(i+1\) 所需要 消耗 的 油量
现有一辆车想从环上 任意点 出发，顺时针 或 逆时针 绕环一圈走回起点
行驶的过程中，油量不能为 负数，初始油量 为 起点 处所能获得的 油量
判断能否完成 环圈行驶
三、暴力做法
看示例：
5
3 1
1 2
5 2
0 1
5 4
用测试用例进行模拟，加快对题目理解：
1、理解题意
\(1->(1)->2->(2)->3->(2)->4->(1)->5 ->(4) ->1\)
\(3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5\)
- 第一行，无\((\ )\)的数字为加油站序号
- 第一行，\(( \ )\)中为在行走过程中消耗的油量:\(d[i-1]\)
- 第二行的数字：每个节点可以补充的油量:\(p[i-1]\)
\(Q_1\):为什么是\(p[i-1],d[i-1]\)，而不是\(p[i],d[i]\)呢？
答:以\(2\)号节点为例，到达了\(2\)，还没有加上\(2\)号站点的油之前，此时剩余油量为\(3-1=2,\)即\(p[1]-d[1]=3-1=2\)。
总结：
- 顺时针到达\(i\)时
- \(d[i-1]\):从\(i-1\)走到\(i\)的石油消耗量
- \(p[i-1]\):从\(i-1\)点获取到的石油量
- 逆时针到达\(i\)时
- \(d[i]\):从\(i+1\)走到\(i\)的石油消耗量
- \(p[i+1]\):从\(i+1\)点获取到的石油量
\(Q_2\):为什么逆时针是\(d[i]\)?按对称来讲，不是应该是\(d[i+1]\)吗？
答：这个细节挺有意思，\(d[i]\)中保存的是\(i->i+1\)这段路需要消耗掉的油量，也可以理解为反向从\(i+1->i\)消耗的油量，是一样的。如果写在\(d[i+1]\)就不是这个意思了，表示从\(i+1->i+2\)消耗的油量，细节决定成败啊！
2、前缀和优化
\(s[i]\)：从\(1\)号节点出发，到达\(i\)号节点，还未取得\(i\)号节点的油量前，剩余油量
其中\(p[i-1]-d[i-1]\)为变化量。
3、【特殊情况】从\(1\)号点出发
模拟从\(1\)号点出发，研究一下在整条路线上，每个节点已到达、但还未加上此节点的油量前，是不是剩余油量全部都大于等于\(0\)，如果出现某个节点到达时（未加上本节点的油），油量已经小于\(0\)，就意味着不可行，因为 中途没油是不可能跑到下一个节点的,任意时刻需要\(s[i]>=0\)。
4、【普通情况】从\(i\)号点出发
办法：【破环成链】
假设从\(i\)点出发，就是在问: \(j ∈[i+1,i+2,i+3, ... ,i+n]\) 这\(n\)个点中，\(s[j]-s[i]\)是不是一直大于等于\(0\)，如果有一个小于\(0\)的就是不合法。
\(Q\):为什么要\(s[j]-s[i]\),这是什么意思？
答：这本质上和从\(1\)号点出发是一样的，比如从\(3\)号点出发，\(n=10\)，就是
由于我们只计算一遍\(S\)前缀和数组，所以从\(3\)号节点出发，可以认为出发时油量为\(0\),而直接读取\(s[3]\)就不对了，因为它包含了\(a[1],a[2],a[3]\),我们需把它扣除掉，才符合要求,这也就是\(s[j]-s[i]\)的含义了。
5、判断方法
判断\(s[j]-s[i]>=0\)有两种判断办法，分别是：
\((1)\)、计算方法\(I\)
for (int i = 1; i <= n; i++) { //枚举每个出发点
bool flag = true;
for (int j = i + 1; j <= i + n; j++)
if (s[j] - s[i] < 0) {
flag = false;
break;
}
if (flag) ans[i] = true;
}
\((2)\)、计算方法\(II\)
for (int i = 1; i <= n; i++) { //枚举每个出发点
LL Min = LLONG_MAX;
for (int j = i + 1; j <= i + n; j++) Min = min(Min, s[j]); //记录在哪个点是存油量最少的情况
// s[j]-s[i]>=0 则表示一直保持油量大于等于0
if (Min >= s[i]) ans[i] = true;
}
其实这两种计算方法本质上是一样的，但第二种更聪明些：
区间内的最小值，也就是 油量最低点，它要是 小于起始值\(s[i]\) ,那就肯定是不中了，我也不管你其它节点啥样，反正最小的小于起始值就是表示中间有断油的情况发生。
这句话是后面优化时采用单调队列的基础，因为这就明显指向了 在区间内找出最小值！
暴力法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000010;
int n;
int p[N];
int d[N];
LL s[N];
bool ans[N];
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d", &p[i], &d[i]);
// 破环成链
p[i + n] = p[i];
d[i + n] = d[i];
}
// 顺时针，油量增减量的前缀和
for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) s[i] = s[i - 1] + p[i - 1] - d[i - 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举出发点
LL Min = LLONG_MAX;
// 找出每个加油站站点到达时的油量最小值，如果最小值都
for (int j = i + 1; j <= i + n; j++) Min = min(Min, s[j]);
if (Min >= s[i]) ans[i] = true;
}
// 逆时针，油量增减量的后缀和
// 一正一反跑两回，才能说某个点是不是顺时针、逆时针可以到达全程，跑环成功
// KAO,前缀和和后缀和一起用，居然不用重新初始化！牛！这个边界s[i+1]=0用的好啊！
// memset(s, 0, sizeof s);
for (int i = 2 * n; i; i--) s[i] = s[i + 1] + p[i + 1] - d[i];
for (int i = n + 1; i <= 2 * n; i++) {
LL Min = LLONG_MAX;
for (int j = i - 1; j >= i - n; j--) Min = min(Min, s[j]);
if (Min >= s[i]) ans[i - n] = true;
}
// 枚举输出
for (int i = 1; i <= n; i++) puts(ans[i] ? "TAK" : "NIE");
return 0;
}
四、单调队列优化
用 单调队列 来维护这长度为\(n\)的区间的 前缀和 最小值 时是哪个位置\(j\)。
\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000010; // 破环成链,双倍长度
int n, p[N], d[N]; // n:油站数量,p:加上的油量,d:消耗掉的油量
LL s[N]; // 顺时针：p[i-1]-d[i-1] 的前缀和，逆时针：p[i + 1] - d[i] 的后缀和
int q[N], hh, tt; // 队列
bool ans[N]; // 结果数组，因为每个站点都有一个结果：是不是能从它出发环行一周，所以，需要一个结果数组
int main() {
// 此题目数据量 n<=1e6,数据量大，使用scanf进行读取
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d", &p[i], &d[i]);
// 破环成链
p[i + n] = p[i]; // 在i点的加油量
d[i + n] = d[i]; // ① 顺时针：从i到下一站i+1的耗油量,②逆时针：从i+1到下一站i的耗油量
}
// 一、顺时针
// (1) 前缀和
for (int i = 1; i <= n * 2; i++) s[i] = s[i - 1] + p[i - 1] - d[i - 1];
// 每个节点考查它右侧最长n个长度的窗口中，s[j]的最小值=s[q[hh]]
// 它右边i+1,i+2,...,i+n需要先入队列，才能让i看到未来,倒序遍历
// (2) 哨兵
q[0] = n * 2 + 1; // 倒序遍历，添加右侧哨兵
hh = 0, tt = 0; // 单调队列
for (int i = n * 2; i; i--) { // 倒序遍历
while (hh <= tt && q[hh] - i > n) hh++; // 最长n个站点
/*
① 如果最小值都大于s[i],说明i可以环形完成旅行
② 走到i时，没加上i站点的油前，考查前i-1,i-2,..,i-n的情况，i还没有参加讨论，所以先用队列解决问题后，再将i入队列
*/
if (s[q[hh]] >= s[i]) ans[i] = true; // s[q[hh]]=s[j]区间内最小值，s[j]-s[i]>=0就是可以走到
while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt--; // 准备i入队列,保留年轻+漂亮(数值更小),喜新厌旧，什么东西！
q[++tt] = i; // i入队列
}
// 二、逆时针，后缀和
for (int i = 2 * n; i; i--) s[i] = s[i + 1] + p[i + 1] - d[i]; // 这里有一个细节，d[i]其实就是i+1->i消耗掉的油量
q[0] = 0; // 正序遍历,添加左侧哨兵
hh = 0, tt = 0; // 初始化队列
for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) { // 正序遍历
while (hh <= tt && i - q[hh] > n) hh++; // 最长n个站点
if (s[q[hh]] >= s[i]) ans[i - n] = true;
while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt--;
q[++tt] = i;
}
// 输出
for (int i = 1; i <= n; i++) puts(ans[i] ? "TAK" : "NIE");
return 0;
}
