AcWing 1086 恨7不是妻
\(AcWing\) \(1086\). 恨\(7\)不成妻
一、题目描述
单身!
依然单身!
吉哥依然单身!
\(DS\) 级码农吉哥依然单身!
所以,他平生最恨情人节,不管是 \(214\) 还是 \(77\),他都讨厌!
吉哥观察了 \(214\) 和 \(77\) 这两个数,发现:
\(2+1+4=7\)
\(7+7=7×2\)
\(77=7×11\)
最终,他发现原来这一切归根到底都是因为和 \(7\) 有关!
所以,他现在甚至讨厌一切和 \(7\) 有关的数!
什么样的数和 \(7\) 有关呢?
如果一个整数符合下面三个条件之一,那么我们就说这个整数和 \(7\) 有关:
- ① 整数中某一位是 \(7\);
- ② 整数的每一位加起来的和是 \(7\) 的整数倍;
- ③ 这个整数是 \(7\) 的整数倍。
现在问题来了:吉哥想知道在一定区间内 和 \(7\) 无关的整数的平方和。
输入格式
第一行包含整数 \(T\),表示共有 \(T\) 组测试数据。
每组数据占一行,包含两个整数 \(L\) 和 \(R\)。
输出格式
对于每组数据,请计算 \([L,R]\) 中和 \(7\) 无关的数字的平方和,并将结果对 \(10^9+7\) 取模后输出。
数据范围
\(1≤T≤50,1≤L≤R≤10^{18}\)
输入样例:
3
1 9
10 11
17 17
输出样例:
236
221
0
二、题目解析
1、递【传递信息】
这题如果只是求整数区间 \([l,r]\) 内满足要求的数的 个数,难度可以归为 简单
我们先想一下如何求解我说的这个 简单问题
毫无疑问是用 数位\(DP\) 来求解,那么在从前向后的搜索过程中,需要 向后传递 的参数有:
-
前 \(u\) 位数位上的数字之和模 \(7\) 的余数 \(sum\)(对应题目中的②)
-
前 \(u\) 位模 \(7\) 的余数 \(pre\)(对应题目中的③)
① 某个数位是不是\(7\),直接判断即可,不用传递。
只有前一个位置 传递 这两个信息,下一个数位才好判断自己怎么办,也就比 前\(5\)道数位\(DP\) 多了一个参数,表现在记忆化中就是数组多了一维罢了。
2、归【合并信息】
可惜本题要求的不是满足要求的 数字的个数,而是满足要求的 数字平方和
平方和,数学术语,定义为\(2\)个或多个数的平方相加。 引自百度百科
举栗子:\(1^2+2^2+3^2+4^2+...+100^2\)
平方和 我们没求过,也不知道有啥规律和性质,只好从从前的思考方式去研究一下,看看怎么处理:
先用 数位\(DP\)-记忆化搜索 求解问题的方式去思考,如何在求解的过程中 记录/合并信息
既然是 搜索,不妨先用 分治的思想,把 大问题集合 划分成多个 子问题集合,最后再进行 合并
下面我们思考每一位都需要它的后面位给自己 向前返回 些什么信息呢?
假设 我们当前已经搜出了 \(u-1\) 层的信息,现在向上 回溯,需要把什么样的信息合并到上面的 大集合 中呢?
从题意要求的结果出发,我们思考一下一个常规形态的位置,怎么样计算出符合条件的 数字平方和:考虑在 搜索 时,如何合并多条搜索分支 回溯 的 平方和信息
假设:
-
目前已经完成了后面\(u-1\)位的填充工作,后\(u-1\)位的形式大约是\(abcd...\),为方便起见,设\(A=abcd...\), 回溯到第\(u\)位
-
这一位其实可能有\(i \in [0,9]\)种填充办法(有贴上界等原因造成的不可达数位请手动扣除)
现在开始,研究一下带\(i\)这一位情况下,所有数字平方和 该如何计算,尝试找出和少一位\(i\)的已有结果数据之间的关联关系:
注:\(k=\)后续符合条件的个数
根据上述 递推式 可知,我们枚举当前数位填 \(i\) 以后下沉 搜索,然后 回溯时 需要传递的 信息 有:
- \(\LARGE S_0\):能接在 \(i\) 以后的数字 \(A\) 的个数 \(\displaystyle \sum_{k}^{}1\)
- \(\LARGE S_1\):能接在 \(i\) 以后的数字 \(A\) 的总和 \(\displaystyle \sum_{k}^{}A\)
- \(\LARGE S_2\):能接在 \(i\) 以后的数字 \(A\) 的平方和 \(\displaystyle \sum_{k}^{}A^2\)
于是把 搜索结果 的 属性值 开成 \(3\)维,分别记录这三个值: \(S_0\)(个数), \(S_1\)(数字总和), \(S_2\)(数字平方和)
3、并
回溯的时候,调用者收到这三个返回值,对这三个值 分别 进行 合并 即可
-
\(\LARGE S_0^{'}\)
合并就是直接个数相加即可
ans.s0 += ret.s0;
-
\(\LARGE S_1^{'}\):
尝试把\(sum\)展开一下,看看怎么能用后面的已有数据进行描述:\[\large \sum_{k}^{}(\overline{iA})=\sum_{k}(i \times 10^{u-1}+A)=(\sum_{k}1)\times i \times 10 ^{u-1}+\sum_{k}A \]至此,就清晰了:
ans.s1 + = ret.s0 * i * base[u - 1] + ret.s1;
-
\(\LARGE S_2^{'}\):
\[\large \sum_{k}^{}(\overline{iA})^2= \sum_{k}^{}(i \times 10 ^ {u-1}+A)^2 \\ \]
=(\sum_{k}^{}1) (i \times 10{u-1})2+ 2 \times (i \times 10 ^ {u-1}) \times \sum_{k}{}A+\sum_{k}{}A^2$$
ans.s2 += i * base[u - 1] * i * base[u - 1] * ret.s0 ;
ans.s2 += 2 * i * base[u - 1] * ret.s1 + ret.s2 ;
注意:
这题唯一一个 最不起眼的减法操作 在第一步 \(calc(r)−calc(l−1)\)),这里也要 取模
三、预处理\(10\)的幂次
【不能直接\(pow\),因为涉及到取模】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20;
int base[N];
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
int main() {
base[0] = 1; // 10^0=1,递推的起点
// 1、一日取模,终生取模~
// 2、为了防止运算过程中溢出,所以在乘法时注意加上ll类型转换
// i ∈ [1,N-1] 共19位
for (int i = 1; i < N; i++) base[i] = (ll)10 * base[i - 1] % mod;
for (int i = 1; i < N; i++) printf("%d ", base[i]);
return 0;
}
输出结果
10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 999999937 999999307 999993007 999930007 999300007 993000007 930000007 300000007 49 490
四、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20;
const LL mod = 1e9 + 7;
LL a[N]; // 用于拆分十进制每一位的数组
LL base[N]; // 预处理出的10的幂次方
struct Node {
LL s0; // 满足条件数的个数 Σ(k,1)
LL s1; // 满足条件的数的和 Σ(k,A)
LL s2; // 满足条件的数的平方的和Σ(k,A^2)
} f[N][7][7];
/*
维度1:u: 数位位置
维度2:sum: 前面完成数位的数位和mod 7
维度3:pre: 前面的类前缀和 mod 7
*/
// 枚举位置,每一位加起来的和%7,这个数%7,是不是贴上界
Node dfs(int u, int sum, int pre, bool op) {
// 1、当u==0时,当sum不是7的倍数,并且,pre不是7的倍数时,这个数是合法的,个数记为1返回
// 2、为什么返回的sum==0,pre==0呢?因为这是要返回上一层去算的,这句话还需要仔细体会含义
if (u == 0) return {(sum && pre), 0, 0};
// 记忆化
if (!op && ~f[u][sum][pre].s0) return f[u][sum][pre];
// 上界
int up = op ? a[u] : 9;
// 本状态下u+sum+pre 的统计信息
Node ans = {0, 0, 0};
for (int i = 0; i <= up; i++) {
if (i == 7) continue;
Node ret = dfs(u - 1, (sum + i) % 7, (pre * 10 + i) % 7, op && (i == up));
// 汇集个数
ans.s0 = (ans.s0 + ret.s0) % mod;
// 汇集数字和
ans.s1 = (ans.s1 + ret.s0 * i % mod * base[u - 1] % mod + ret.s1) % mod;
// 汇集数字平方和
ans.s2 = (ans.s2 + i * base[u - 1] % mod * i % mod * base[u - 1] % mod * ret.s0 % mod) % mod;
ans.s2 = (ans.s2 + 2 * i % mod * base[u - 1] % mod * ret.s1 % mod + ret.s2) % mod;
}
// 套路
if (!op) f[u][sum][pre] = ans;
return ans;
}
LL calc(LL x) {
int al = 0;
while (x) a[++al] = x % 10, x /= 10;
return dfs(al, 0, 0, true).s2;
}
int main() {
// 与7无关的数,是数字本身的特性,而且取模是一个固定值,不会因为多输入几次就变化
memset(f, -1, sizeof(f));
// 预处理出10的幂次方【因为涉及到取模,要不这玩意还用预处理?】
base[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i++) base[i] = base[i - 1] * 10 % mod;
int T;
cin >> T;
LL l, r;
while (T--) {
cin >> l >> r;
printf("%lld\n", (calc(r) - calc(l - 1) + mod) % mod); // 操作的每一步都需要注意取模
}
return 0;
}
五、经验总结
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涉及到大整数的加法,乘法,需要对大质数取模,看着\(int\)能装下,还是开类型\(ll\)吧,运算过程中的溢出也会烦死人~
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有时,只记录一个属性是无法实现关系的递推的,这时需要采用结构体记录。
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这个难度的题,(紫题),目前也就能理解清楚,记忆下来,总结一下。如果出现一个全新的类似题,估计还会挂,蒟蒻和大牛的差距还是巨大的,路还要是一点点走,着急也不是办法,但还好,能看懂。记录一下当前日期\(2022-09-14\),也许,两年以后我就是个大牛了~
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【更新】\(2023.6.12\),今天重新复习这道题,对于思路感觉还是挺直接的,要学习数位的一些技巧:比如\(\overline{iA}\),\(i\times 10^{u-1}+A\)之类的常见办法,深刻理解一下\(K\)的含义,这道题还就是一个简单的扩维、推式子,并不是特别难,看来这东西也是慢慢熟悉的过程,难者不会,会者不难,加油吧!