AcWing 1077. 皇宫看守

$AcWing$ $1077$. 皇宫看守

一、题目描述

太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。

皇宫各个宫殿的分布，呈一棵树的形状，宫殿可视为树中节点，两个宫殿之间如果存在道路直接相连，则该道路视为树中的一条边。

已知，在一个宫殿镇守的守卫不仅能够观察到本宫殿的状况，还能 观察到与该宫殿直接存在道路相连的其他宫殿的状况。

大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。

可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。

帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。

输入格式
输入中数据描述一棵树，描述如下：

第一行 $n$，表示树中节点的数目。

第二行至第 $n+1$ 行，每行描述每个宫殿节点信息，依次为：该宫殿节点标号 $i$，在该宫殿安置侍卫所需的经费 $k$，该节点的子节点数 $m$，接下来 $m$ 个数，分别是这个节点的 $m$ 个子节点的标号 $r_1,r_2,…,r_m$。

对于一个 $n$ 个节点的树，节点标号在 $1$ 到 $n$ 之间，且标号不重复。

输出格式
输出一个整数，表示最少的经费。

数据范围
$1≤n≤1500$

输入样例：

6
1 30 3 2 3 4
2 16 2 5 6
3 5 0
4 4 0
5 11 0
6 5 0

输出样例：

25

样例解释：
在$2、3、4$节点安排护卫，可以观察到全部宫殿，所需经费最少，为 $16 + 5 + 4 = 25$。

二、对比

和 $Acwing$ $323$. 战略游戏 这题非常类似，但又有些不同

$Acwing$ $323$. 战略游戏在一条道路的两个节点至少有一个是放的，而这题不一定，比如

我们可以在$3$，$4$，$5$，$6$号点放，其他各点都不放。这样$1-2$的两个端点都没有守卫，这就和 $Acwing$ $323$. 战略游戏 这题不同了

三、思路

不过稍微观察可以发现，$Acwing$ $323$. 战略游戏 这题的 切入点是边，而本题的 切入点是宫殿，也就是树上的节点。那么可以用 放不放 这个状态上 增加一个状态，即

• 当前节点不放守卫

  • 父节点放守卫:$f[u][0]$
  • 子节点放守卫:$f[u][1]$

• 当前节点放置守卫:$f[u][2]$

  其中$u$为当前节点，这样就可以 涵盖整个状态空间

解释：状态描述这么划分，其实是 存在重叠情况的，比如$u$节点不放守卫，父节点放守卫:$f[u][0]$，而且，它的子节点也放了守卫:$f[u][1]$，这种情况是可能存在的:( $f[u][0]$与$f[u][1]$ 同时存在，不冲突！)。这样并不奇怪，因为我们最终要求的是最小值，只要不遗漏某种情况，最终的最小值是一样的

有了状态表示，接下来就是推导状态转移了，记$j$为$u$的子节点，那么

1. $\displaystyle \large f[u][0]=\sum min\left \{f[v][1],f[v][2] \right \}$
   含义：当前节点$u$不放且被父节点看到，那么子节点$j$只能放或者被其子节点看到。
   ​
2. $\displaystyle \large f[u][1]=f[k][2]+ \sum min\left \{ f[v][1],f[v][2] \right \} ~ k \neq j$
   含义：当前节点$u$不放，$u$的子节点$k$放了，$u$的其他子节点$j$放（$f[j][2]$）或者不放（即$f[j][1]$）,需要枚举$k$。

没有$f[j][0]$是因为$u$不放
​

3. $\displaystyle \large f[u][2]=\sum min\left \{ f[v][0],f[v][1],f[v][2] \right \}$
   含义：当前节点放了，那么子节点取哪种状态都可以

$1$，$3$实现起来比较容易，至于$2$的实现,有点麻烦，因为如果真的去一次次遍布计算是哪个$k$儿子，效率就会很低。

不这样算，还能怎么算呢？

补集思想

• 把所有的$min(f[v][1],f[v][2])$都加在一起，不管$v$是不是等于$k$。
• 讨论自己不放守卫，枚举每个儿子视为好儿子，选中则$+f[v][2]$,同时，
  其它儿子不靠父亲靠自己的代价总和就是 $sum(min(f[v][1],f[v][2]) - min(f[k][1],f[k][2])$,这样，算法就是$O(1)$的速度

四、树形$DP$代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int N = 1510;
int n;
int h[N], e[N], ne[N], idx;

int w[N]; // 点的权值，不是边，不是边，不是边！
/*
状态表示：
（1）集合
f[u][0]：u号节点不放守卫，被父节点看守的方案
f[u][1]：u号节点不放守卫，被某个子节点看守的方案
f[u][2]：u号节点自己安排守卫看住的方案
（2）属性
花费最小值
*/
int f[N][3];
int in[N]; // 入度

// 邻接表
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void dfs(int u) {
    // 初始化
    f[u][0] = 0;    // 被父亲守护，对于u子树而言，代价为0
    f[u][1] = INF;  // 被某个子节点守护，但还没有评选中由哪个来看守更合适，预求最小先设最大
    f[u][2] = w[u]; // 被自己守护，对于u子树而言，代价为w[u]

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        dfs(j);

        // ① u不放守卫，被父节点守护，它的儿子们可以放守卫，也可以不放守卫，两者代价取min
        f[u][0] += min(f[j][1], f[j][2]);

        // ③ u放守卫，儿子可以指望父亲，可以自己放守卫，也可以指望某个孙子来守卫,三者代价取min
        f[u][2] += min({f[j][0], f[j][1], f[j][2]});
    }

    // ② u不放守卫，由某个好儿子守护
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        // Q:f[u][0]是什么意思？
        // 向上看第39行，本质上就是所有子节点j的最小花费值累加和，没有扣除掉孝顺儿子的花费值
        // 假设j是孝顺儿子，需要在其中扣除掉j的min(f[j][1],f[j][2])贡献,同时，
        // 它的代价跑不了，此时就不能取min了，而是实打实的f[j][2]
        f[u][1] = min(f[u][1], f[j][2] + f[u][0] - min(f[j][1], f[j][2]));
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);       // 初始化
    cin >> n;                      // 节点数
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // n个节点
        int x, m;                  // 节点号，代价,子节点数
        cin >> x >> w[x] >> m;
        while (m--) {
            int y;
            cin >> y;
            add(x, y); // 有向图
            in[y]++;   // 入度,用于找根
        }
    }

    // 找根
    int root = 1;
    while (in[root]) root++;

    // dfs
    dfs(root);

    // f[root][0]表示root不放守卫,被父节点看守，根节点是没有父节点的, 所以此状态是无效状态，不参与结果讨论
    // 最终最小代价值取min(f[root][1],f[root][2])
    printf("%d\n", min(f[root][1], f[root][2]));
    return 0;
}

五、问题与解答

$Q$:$f[u][1]$为什么要单独再开一个$for$来求，为什么不能直接在第一个$for$里面同时求$f[u][0]、f[u][2]$和$f[u][1]$?

答：

注意第一个循环中的写法：

f[u][0] += min(f[v][1], f[v][2]);

这是在枚举每个u的儿子v,然后把v儿子自己放守卫，v儿子指望它的某个儿子看守望的情况两者的最小值进行累加，最终形成累加和$sum=f[u][0]$,注意,是最终的 累加和 啊！！！也就是所有儿子$v_1,v_2,v_3$,…的取值累加和。

在第二个循环中，我们期望如果现在指望 $v$儿子给$u$守卫的话，那么$f[v][2]$是肯定要付出的代价，那其它儿子需要付出的整体代价就是
$sum-min(f[v][1],f[v][2])$
注意：这里的是$sum$!!!

如果我们把三个状态转移全部放在第一个循环中，我们就会发现，当我们需要全部的累加和$sum$时，上面的$f[u][0]$还没有累加完毕！！还只是一部分儿子$v$的$sum$和，并不是全部，而我们要全部的$sum$和，这就意味着我们需要等待上面的所有$v$累加完，也就是执行完一遍循环后，才能拿到这个需要的$sum$值，这就解释了为什么要用两遍循环的原因。