AcWing 1075. 数字转换
\(AcWing\) \(1075\). 数字转换
一、题目描述
如果一个数 \(x\) 的约数之和 \(y\)（不包括他本身）比他本身小，那么 \(x\) 可以变成 \(y\)，\(y\) 也可以变成 \(x\)。
例如，\(4\) 可以变为 \(3\)，\(1\) 可以变为 \(7\)。
限定所有数字变换在不超过 \(n\) 的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。
输入格式
输入一个正整数 \(n\)。
输出格式
输出不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。
数据范围
\(1≤n≤50000\)
输入样例：
7
输出样例：
3
样例解释
一种方案为：\(4→3→1→7\)。
二、筛法求约数和
普通筛法求约数和【类似于埃筛】
for (int i = 1; i <= n; i++) //i是因数
for (int j = 2; j <= n / i; j++)//j代表i的放大倍数
sum[i * j] += i; //i*j的约数和+i
三、建图
以 n = 8 为例建有向图，采用从 约数和 到 原数 方向建图。
\(Q:\)为什么不创建双向边?
\(A\):小的数字往大的数字上连一条就够了,搜了根，这个树的直径就找出来了，没有反向搜的必要,维持一定的顺序就可以不用建双向边。
原本是要建双向边的，但是因为我每次\(dfs\)都是从根节点开始的，所以可以建有向边，因为有根树的直径一定会经过根节点。原本求树的直径要建无向边是因为不确定该点一定是根节点。
\(Q\):为什么从小的数字往大的数字上连边就可以了，而从大的数字连边往小得数字连边就不行?
\(A\):一个数可能是多个数的约数之和,同时满足\(sum[i]<i\)。
尝试一下反向建边，看看这是个啥:
建好图后，本题就 等价于 找出一个森林中，直径最长 的树，并求出该树的 直径
\(Q\):建好的图中，是一棵树吗?
答：不一定是树。比如\(6\)，它的约数和也是\(6=1+2+3\)，\(sum[6]=6\),所以它是没有从约数和到自己的边的，而且，它也不是其它数字的约数和！它是一个孤立的点，性格比较怪异~,我们可以理解为创建的并不是一棵树，而是一个森林，森林中的某些树，可能也只有一个根节点。
\(Q:\) 从\(1\)为根的树，为什么就是直径最长的树呢？
看一下上面的图，只要想：任何的不包括\(1\)的中间环节加个\(1\)都不会矛盾的，反而能使结果加\(1\)，变得更好，所以找以\(1\)为根就可。这里没有给出严谨的数学证明，但对于小朋友而言，直白是不是更好理解？
四、算法步骤
① 预处理约数和
② 理解题意，手绘出图示关系。然后，创建以\(1\)为根的有向图。
③ 在图中，以\(1\)为根开始\(dfs\)，找出以\(1\)为根的子树中最长直径就是答案。
五、构建有向图求直径
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50010, M = N << 1;
int n;
int sum[N];
int d1[N], d2[N], st[N], res;
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
// 求树的直径模板
void dfs(int u) {
st[u] = 1;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (st[j]) continue;
dfs(j);
if (d1[j] + 1 >= d1[u]) {
d2[u] = d1[u];
d1[u] = d1[j] + 1;
} else if (d1[j] + 1 > d2[u])
d2[u] = d1[j] + 1;
}
res = max(res, d1[u] + d2[u]);
}
int main() {
// 初始化
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> n;
// 筛法求约数和
for (int i = 1; i <= n; i++) // i是因数
for (int j = 2; j <= n / i; j++) // j代表i的放大倍数 n/i不会溢出
sum[i * j] += i; // i*j的约数和+i
for (int i = 1; i <= n; i++)
// 当约数和小于原数，添加一条由约数和到原数的边，有向边.小数->大数存在边
// 无环:目标是原数，一个原数不可能存在多个不同的约数和
// 所以，这是一棵树
if (sum[i] < i) add(sum[i], i);
// 万物初始总有起点，1就是起点
dfs(1);
// 输出
cout << res << endl;
return 0;
}
六、理解与感悟
-
\(dfs\)写法最好写成\(void\)返回，不要采用\(int\)方式，这样码风统一。此时，采用类似于记忆化的办法，利用数组\(d1[N],d2[N]\)来记录每个\(u\)结点最长距离和最短距离。
采用\(int\)返回值时，还需要返回\(d1\),太麻烦了。 -
不管是有向图还是无向图，在遍历可能出现的森林时，需要用\(st[N]\)对已访问过的结点进行标识，防止重复计算，一来可以提高计算速度，二来也可以防止结果出错。
