AcWing 1069. 凸多边形的划分
\(AcWing\) \(1069\). 凸多边形的划分
一、题目描述
给定一个具有 \(N\) 个顶点的凸多边形，将顶点从 \(1\) 至 \(N\) 标号，每个顶点的权值都是一个正整数。
将这个凸多边形划分成 \(N−2\) 个互不相交的三角形，对于每个三角形，其三个顶点的权值相乘都可得到一个权值乘积，试求所有三角形的顶点权值乘积之和至少为多少。
即：求所有三角形的顶点权值乘积之和的最小值
输入格式
第一行包含整数 \(N\)，表示顶点数量。
第二行包含 \(N\) 个整数，依次为顶点 \(1\) 至顶点 \(N\) 的权值。
输出格式
输出仅一行，为所有三角形的顶点权值乘积之和的最小值。
数据范围
\(N≤50\),数据保证所有顶点的权值都小于\(10^9\)
输入样例：
5
121 122 123 245 231
输出样例：
12214884
二、算法思路
这是一个经典的 图形学 问题 — 三角剖分
因为我们现实中常见的一些 多边形图形 存储到计算机中，需要转存为一个个 像素点
那么如何存储一个 多边形 最简单的方案就是把它转化为 多个三角形 进行存储
也就是 三角剖分 问题，不只是 凸多边形，还能解决 凹多边形， 有孔多边形 等问题
回归本题，本题是一个给定的 凸多边形 求 三角剖分 的 最小费用方案
题意理解
看完题目描述后，我是一脸懵逼，不知道这是个啥意思。冷静下来看了下其它同学的题解，发现是以区间\(DP\)思路解决此问题，而区间是指任意两点\([l,r],(l<r)\)确定下来的区间,然后再分析。
可是题目中说的是划分为\(n-2\)个三角形，并且，三角形不相交啊！看他们的题解没有三角形不相交的，这是为什么呢？
自己研究了一下，绘制了上面的图：
- 第一行是以点为出发视角讨论有哪些三角形，这和题目是完全一致的。
- 第二行是以边为出发视角讨论有哪些三角形，并且，只绘制了相邻点构成的边。
那不相邻的点就无法构成边吗？再以这条构成边出发，是不是还可以继续绘制其它三角形呢？
是的，比如\(1\)点和\(3\)点也可以构成边，就是先把\(1,3\)用线连起来，但这个肯定会与以其它相邻点构成的三角形重复，只讨论相邻的就可以覆盖掉全部的三角形。
结论：依题意，可以转化为求区间\([1,n]\)之间所有可构成三角形的公式和最小值
很显然一个 凸多边形的剖分方案 并不唯一：
闫氏\(DP\)分析法
状态表示—集合
\(f[l][r]\):多边形的所有边【即：\((l,l+1),(1+1,l+2),...,(r-1,r),(l,r)\)】划分成三角形的所有方案
状态表示—属性
\(f[l][r]\):方案的最小费用
状态计算
其三个顶点的权值相乘都可得到一个权值乘积，试求所有三角形的顶点权值乘积之和至少为多少。
所以代价是\(\large w_l \times w_k \times w_j\),则状态转移方程：
\(k\)的取值范围也很好理解：三个点才能形成三角形，如果\(l=k\)或者\(k=r\)都将无法形成三角形。
区间\(DP\) 在状态计算的时候一定要 认真 划分好 边界 和 转移，对于不同题目是不一样的
然后本题非常的嚣张，直接用样例的 \(5\) 的点告诉我们答案会爆 \(int\) 和 \(long\) \(long\)
并且没有 取模 要求，那就只能上 高精度 了,要是懒的话，那用一下__int128,这个是\(yyds\)
三、数据范围
本题因为是三个\(10^9\)的数字相乘为最大值范围:
\(int :2147483648\),即\(2^{31} \approx 2\times {10}^{10}\)
\(long\) \(long\) ：\(9223372036854775807\) ,即\(2^{63} \approx 9 \times {10}^{19}\)
三个 \(int\)连乘就是 \(2*{10}^{10}\times 2\times {10}^{10}\times 2\times {10}^{10}=8\times {10}^{30}\)
\(long\) \(long\) 也是装不下，只能使用高精度(__int128也可以)
四、\(\_\_int128\)是个什么东东？
在关于\(NOI\)系列活动中编程语言使用限制的补充说明中表明:
允许使用以下划线开头的库函数或宏，但具有明确禁止操作的库函数和宏除外。
所以能在比赛中进行使用。
由于 \(\_\_int128\) 仅仅是 (\(GCC\)) 编译器内的东西，不在 \((C++ 98/03/11/14/17/20)\) 标准内，
且仅 \((GCC4.6)\) 以上\(64\)位版本支持，很多配套都没有，只有四则运算功能。
目前\(NOI\)的\(GCC\)版本是\(9.0\),放心使用~
参考链接
NOI Linux 2.0发布，将于9月1日起正式启用！
优点
\(C++\)内测的一种数据类型,\(\_\_int128\)的最大值是：
\(\large ±85070591730234615865843651857942052864\),约为\(\large 10^{38}\)。
足够解决大部分高精度，大数据问题。
缺点
- 手写输入输出
五、区间\(DP+\_\_int128\)作法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
typedef __int128 LL;
const LL INF = 1e38;
LL read() {
LL x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = x * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return x * f;
}
void write(LL x) {
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
LL f[N][N];
LL w[N];
int n;
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) w[i] = read();
// 初始化
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
// 两个点之间最小差距是2，比如[1,3]这里面就有三角形，需要求解，如果小于2，比如[1,2]
// 无法构成三角形，就不需要求解，无法构成的情况贡献值是0，也是递推的起点，否则，全都是INF
// 就无法推起来了
j - i < 2 ? f[i][j] = 0 : f[i][j] = INF;
for (int len = 3; len <= n; len++) { // 区间范围最少是3个，否则无法构建三角形
for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
int r = l + len - 1;
for (int k = l + 1; k < r; k++) // l<k<r才能构建三角形
f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + w[l] * w[k] * w[r]);
}
}
// 输出
write(f[1][n]);
return 0;
}
六、\(dfs+\_\_int128\)解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50 + 10;
//__int128专用
typedef __int128 LL;
const LL INF = 1e38;
LL read() { // 快读
LL x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = x * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return x * f;
}
void write(LL x) { // 快写
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
LL w[N];
LL f[N][N];
// 计算[l,r]之间的三角剖分最大值
LL dfs(int l, int r) {
LL &v = f[l][r];
if (v != INF) return v; // 记忆化
if (r - l < 2) return v = 0; // 不够三个点，哪来的剖分值
for (int k = l + 1; k < r; k++) // 中间点k不能与l,r重合
v = min(v, dfs(l, k) + dfs(k, r) + w[l] * w[r] * w[k]);
return v;
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) w[i] = read();
// 初始化极值
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
f[i][j] = INF;
write(dfs(1, n));
return 0;
}
七、高精度作法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 210;
const int M = 35;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
LL f[N][N][M];
LL w[N];
// 判断a>b
bool cmp(LL a[], LL b[]) {
for (int i = M - 1; i >= 0; i--) { // 直接从高位进行比较,如果某一位a[i]>b[i]，则说明a比b这个数大
if (a[i] > b[i]) return true;
if (a[i] < b[i]) return false;
}
return false;
}
// 直接从0位(个位)加，一直加到最高位M-1位
void add(LL a[], LL b[]) {
LL c[M] = {0}, t = 0;
for (int i = 0; i < M; i++) {
t += a[i] + b[i];
c[i] = t % 10;
t /= 10;
}
memcpy(a, c, sizeof c);
}
// 从0位(个位)开始乘，一直乘到最高位M-1位
void mul(LL a[], LL b) {
LL c[M] = {0}, t = 0;
for (int i = 0; i < M; i++) {
t += a[i] * b;
c[i] = t % 10;
t /= 10;
}
memcpy(a, c, sizeof c);
}
// 打印高精度结果数组
void print(LL a[]) {
int k = M - 1;
while (k && !a[k]) k--; // 输出之前要将所有的前导0都去掉
for (int i = k; i >= 0; i--) printf("%lld", a[i]);
puts("");
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
for (int len = 3; len <= n; len++) {
for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
int r = l + len - 1;
f[l][r][M - 1] = 1; // 因为高精度数组是高位在右，低位在左，这里设置的是最高位为1，目的是什么呢？
for (int k = l + 1; k < r; k++) { // 枚举中间点
LL t[M] = {0}; // 临时高精度数组
t[0] = 1; // 乘法的世界本原
mul(t, w[l]); // 高精度乘法
mul(t, w[k]); // 高精度乘法
mul(t, w[r]); // 高精度乘法
add(t, f[l][k]); // 高精度加法
add(t, f[k][r]); // 高精度加法
// 得到新的最大值，更新
if (cmp(f[l][r], t)) memcpy(f[l][r], t, sizeof t);
}
}
}
// 输出
print(f[1][n]);
return 0;
}
