AcWing 320 能量项链
\(AcWing\) \(320\) 能量项链
一、题目描述
在 \(Mars\) 星球上，每个 \(Mars\) 人都随身佩带着一串能量项链，在项链上有 \(N\) 颗能量珠。
能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。
并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。
因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 \(Mars\) 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。
如果前一颗能量珠的头标记为 \(m\)，尾标记为 \(r\)，后一颗能量珠的头标记为 \(r\)，尾标记为 \(n\)，则聚合后释放的能量为 \(m×r×n\)（\(Mars\) 单位），新产生的珠子的头标记为 \(m\)，尾标记为 \(n\)。
需要时，\(Mars\) 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。
显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设 \(N=4\)，\(4\) 颗珠子的头标记与尾标记依次为 \((2，3)(3，5)(5，10)(10，2)\)。
我们用记号 \(⊕\) 表示两颗珠子的聚合操作，\((j⊕k)\) 表示第 \(j\)，\(k\) 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 \(4、1\) 两颗珠子聚合后释放的能量为：\((4⊕1)=10×2×3=60\)。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 \(((4⊕1)⊕2)⊕3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710\)。
输入格式
输入的第一行是一个正整数 \(N\)，表示项链上珠子的个数。
第二行是 \(N\) 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 \(1000\)，第 \(i\) 个数为第 \(i\)
颗珠子的头标记，当 \(i<N\) 时，第 \(i\) 颗珠子的尾标记应该等于第 \(i+1\) 颗珠子的头标记，第 \(N\) 颗珠子的尾标记应该等于第 \(1\) 颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出格式
输出只有一行，是一个正整数 \(E\)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
数据范围
\(4≤N≤100,1≤E≤2.1×10^9\)
输入样例：
4
2 3 5 10
输出样例：
710
二、数据样例解析
第二行是\(N\)个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 \(1000\)，第 \(i\) 个数为第 \(i\) 颗珠子的头标记，当 \(i<N\) 时，第 \(i\) 颗珠子的尾标记应该等于第 \(i+1\) 颗珠子的头标记，第 \(N\) 颗珠子的尾标记应该等于第 \(1\) 颗珠子的头标记。
上面这段话，就是告诉我们，其实 是一个首尾相连接的环。
样例： \(2\) \(3\) \(5\) \(10\)
表示有\(4\)个珠子：\(①[2,3]\), \(②[3,5]\),\(③[5,10]\),\(④[10,2]\)
如果我们先合并的\(④\)和\(①\),最终结果就是\(⑤[10,3]\)，释放能量\(10*2*3=60\)点，剩下\(②③⑤\)
\(⑤\)再与\(②\)合并，结果就是\(⑥[10,5]\)，释放能量\(10*3*5=150\)点。剩下\(③\)和\(⑥\)
\(⑥\)与\(③\)合并，结果就是\(⑦[10,10]\)，释放能量\(10*5*10=500\)点。剩下\(⑦\),只剩下一个了，完成！
一共合并\(3\)次，总的能量就是\(60+150+500=710\)点
三、理解题意
本题是上一题环形石子合并问题的变形。按照上一题一样的处理环形问题的方法，将序列的长度翻倍。
状态表示
\(f[l][r]\)表示第\(l\)到第\(r\)个珠子合并释放的最大能量
这里 注意 比如\(len\)为\(2\)时，
合并这两颗珠子，释放的能量等于\(2 * 3 *5\)。
最后剩下一棵珠子的头尾吸盘也需要合并到一起的，比如\(2\) \(3\) \(5\) \(10\)合并成为了\((2,10)\)，尽管此时合并成了一串，但项链的首尾仍需要连接，所以还需要合并\((2,10)\)及\((10,2)\)，本题就转化成了求区间长度为\(n\)的石子合并问题的最大值。
四、区间\(DP\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 210;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int a[N];
int f[N][N];
int main() {
scanf("%d", &n);
// 破环成链
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), a[i + n] = a[i]; // 第 i 颗珠子的头标记
// 区间DP模板
for (int len = 2; len <= n; len++)
for (int l = 1; l + len - 1 <= n * 2; l++) { // 区间左端点
int r = l + len - 1; // 区间右端点，r-l=l+len-1-l=len-1,举栗子：比如r=3,l=1,则len=3,len-1=3-1=2,符合事实
for (int k = l; k < r; k++) // 中间点k
f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + a[l] * a[k + 1] * a[r + 1]);
// 这里的过程同石子合并，这里不难想到若将l到k的珠子合并之后会变成一个首是l而尾k+1的珠子；
// 同理若将k+1到r的珠子合并之后会变成一个首是k+1而尾r+1的珠子；
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(f[i][i + n - 1], res); // 区间长度为n
printf("%d\n", res);
return 0;
}
五、记忆化搜索代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 210;
int n;
int a[N];
int f[N][N]; // 记忆化结果
// 计算l~r之间的结果值
int dfs(int l, int r) {
if (r == l) return 0; // 区间内有一个数字
if (r == l + 1) return (a[l] * a[r] * a[r + 1]); // 区间内有两个数字,a[r+1]就是破环成链的妙用
int &v = f[l][r]; // 准备记录结果
if (v) return v; // 如果计算过，则返回已经有的结果
// 枚举倒数第一个可能的结束位置
for (int k = l; k < r; k++)
v = max(v, dfs(l, k) + dfs(k + 1, r) + a[l] * a[k + 1] * a[r + 1]);
return v;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
// 破环成链
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), a[i + n] = a[i];
// 以每个位置为起点，跑一遍dfs,找出最大值
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, dfs(i, i + n - 1));
printf("%d", res);
return 0;
}
