AcWing 1064 小国王

$AcWing$ $1064$. 小国王

一、题目描述

在 $n×n$ 的棋盘上放 $k$ 个国王，国王可攻击相邻的 $8$ 个格子，求使它们无法互相攻击的方案总数。

输入格式
共一行，包含两个整数 $n$ 和 $k$。

输出格式
共一行，表示方案总数，若不能够放置则输出$0$。

数据范围
$1≤n≤10,0≤k≤n^2$

输入样例：

3 2

输出样例：

16

二、题目理解

国王可以向附近的 八个方向 进行攻击，所以穷举一下十六种可能，与测试用例对上了。

三、题目解析

一个国王能攻击它 相邻 的$8$个格子:

↖ ↑ ↗
← ㊣ →
↙ ↓ ↘

根据$DP$的一般思考方式，假想已经完成前$i-1$行的摆放，现在处在第$i$行，可行的搬放方法是：

• ① 同行不能 连续 放国王

与上一行对比(每一行都考虑与前一行的关系，就解决了所有关系)，

• ② 如果上一行某列放了国王，此列就不能放国王
• ③ 如果上一行某列放了国王，此列的$45$度方向也不能放国王

1、状态表示

因为上一行的摆放方法，直接影响了本行的摆放，所以记录上一行的摆放情况是必要的。怎么记录呢？考虑到数字$n$较小，大约在$10$左右，这就明显是在提示我们可以采用 状态压缩 来描述状态。数位上是$1$表示要摆，数位上是$0$表示不摆。

2、同行不能连续放国王

常规思路是枚举每一个二进制数位，判断本位与下一位是不是都是数字$1$。
本题$n=10$最大，就是每判断一个数字是不是合法状态，需要判断$10$次。

位运算会使得运算更快捷：

bool check(int x) {
    return !(x & x >> 1);
}

只需一步，$O(1)$，性能提高十倍！$x$与$x>>1$进行相与，如果$x$有连续的数字，那么必

$x$	$1100$
$x>>1$	$0110$
$x\&(x>>1)$	$0100$

错位相与，结果大于$0$，就表示存在连续的$1$

结论：
错位相与，结果大于$0$，表示存在连续的$1$

3、与上一行对比，如果上一行某列放了国王，此列就不能放国王

(a & b) == 0

上一行的状态$a$与本行的状态$b$,如果按位相与，结果为$0$，就是没有同列是$1$的情况。

结论：
上下相与，结果等于$0$，不存在同列数字$1$

4、与上一行对比，如果上一行某列放了国王，此列的45度方向也不能放国王

check(a | b)

这个就更妙了，先用$a|b$,只要$a$或$b$的某一列有一个是$1$，那么本列结果就是$1$，起到了一个叠加的作用，这个结果，是在保证了上面同行没有连续数位是$1$的情况下进行讨论，此时，结果出现了连续$1$，只能是$a$与$b$存在　错列　连续$1$的情况，也就是$45$度相关。

结论：
在保证上下两行没有连续数位是$1$的情况下讨论, 上下相与，再做错位相与，可检查上下两行是否存在$45^\circ$度两个数字$1$

四、动态规划

状态表示

集合
$f[i][j][k]$ 表示前$i$行已经摆完，放入了$j$个国王，并且 第$i$行状态是$k$ 的所有方案。

属性
方案个数

状态计算

本行的预放入状态，需要与上一行 兼容，并且本行预放入的状态中包含的国王个数，需要小于限定的国王个数。
在满足了上面的两个条件后，就可以通过上一行和本行的状态，计算出由上一行迁移过来的方案数量。

预处理

双重循环遍历所有 合法状态 ，找出 合法状态之间的兼容关系

//i与i-1行之间的兼容关系记录下来
for (int a: st)
    for (int b: st) {
        //a&b==0:同列不是同时为1，表示列上面国王不冲突
        //check(a|b)： 经或处理后的数字，如果存在连续的1，就表示斜45度有国王，不合法,妙不可言
        if ((a & b) == 0 && check(a | b))
            head[a].push_back(b);//记录合法的状态转移关系
    }

$Code$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
// 棋盘式状态压缩DP
typedef long long LL;
const int N = 12;      // 棋盘的长宽上限,建议多开两个，防止溢出
const int M = 1 << 10; // 二进制枚举的状态数量上限，因为n最大是10,就是2^10个状态
const int K = 110;     // 国王的个数上限
int n;                 // n*n的棋盘
int m;                 // 国王的数量

vector<int> st;      // 所有合法的状态（预处理的结果）
vector<int> head[M]; // 某个状态兼容哪些状态（预处理的结果）,注意这个上限M，2022年8月13日曾经卡在这里2小时，被一个同学误导了
int cnt[M];          // 记录每种状态中的数字1个数，快速获取某行使用了多少个国王
LL f[N][K][M];       // 完成前i行，使用了j个国王，现在的状态是k:001010111之类，存在的是二进制对应的十进制数

// 判断数字x是不是有连续的1
bool check(int x) {
    return !(x & x >> 1);
}

// 数字1的个数
int count(int x) {
    int res = 0;
    while (x) {
        x = x & (x - 1);
        res++;
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);

    // 1、筛选掉：同行出现连续1,保证同行不能出现连续1，表示国王不相邻
    // 并且记录每个状态中数字1的个数是多少
    for (int i = 0; i < 1 << n; i++) // 从啥也不摆到火力全开
        if (check(i)) {
            st.push_back(i);   // 记录合法状态i
            cnt[i] = count(i); // 记录合法状态i中有多少个国王（数字1）
        }

    // 双重循环遍历,找出相邻行之间的兼容关系
    for (int a : st)
        for (int b : st) {
            if ((a & b) == 0 && check(a | b)) // 上下行，45度双重检查
                head[a].push_back(b);         // 记录合法的状态转移关系
        }

    // 　3、DP
    // 已经摆完了前0行，放置了0个国王，当前状态全是0，这种情况下只有全是0的状态是合法的，方案数为1
    f[0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)                                  // 枚举每一行
        for (int j = 0; j <= m; j++)                              // 枚举国王个数
            for (int a : st) {                                    // 枚举第i行的每一种可能状态
                for (int b : head[a]) {                           // a状态的所有合法前序状态
                    int c = cnt[a];                               // 状态a的国王数量
                    if (j >= c) f[i][j][a] += f[i - 1][j - c][b]; // 从上一层的状态转化而来
                }
            }

    LL ans = 0;
    // 在填充完n行之后，将m个国王放完，每一个合法状态都是可能的解，累加起来是答案
    for (int a : st) ans += f[n][m][a];
    cout << ans << endl;
    return 0;
}