AcWing 1064 小国王
\(AcWing\) \(1064\). 小国王
一、题目描述
在 \(n×n\) 的棋盘上放 \(k\) 个国王，国王可攻击相邻的 \(8\) 个格子，求使它们无法互相攻击的方案总数。
输入格式
共一行，包含两个整数 \(n\) 和 \(k\)。
输出格式
共一行，表示方案总数，若不能够放置则输出\(0\)。
数据范围
\(1≤n≤10,0≤k≤n^2\)
输入样例：
3 2
输出样例：
16
二、题目理解
国王可以向附近的 八个方向 进行攻击，所以穷举一下十六种可能，与测试用例对上了。
三、题目解析
一个国王能攻击它 相邻 的\(8\)个格子:
↖ ↑ ↗
← ㊣ →
↙ ↓ ↘
根据\(DP\)的一般思考方式，假想已经完成前\(i-1\)行的摆放，现在处在第\(i\)行，可行的搬放方法是：
- ① 同行不能 连续 放国王
与上一行对比(每一行都考虑与前一行的关系，就解决了所有关系)，
- ② 如果上一行某列放了国王，此列就不能放国王
- ③ 如果上一行某列放了国王，此列的\(45\)度方向也不能放国王
1、状态表示
因为上一行的摆放方法，直接影响了本行的摆放，所以记录上一行的摆放情况是必要的。怎么记录呢？考虑到数字\(n\)较小，大约在\(10\)左右，这就明显是在提示我们可以采用 状态压缩 来描述状态。数位上是\(1\)表示要摆，数位上是\(0\)表示不摆。
2、同行不能连续放国王
常规思路是枚举每一个二进制数位，判断本位与下一位是不是都是数字\(1\)。
本题\(n=10\)最大，就是每判断一个数字是不是合法状态，需要判断\(10\)次。
位运算会使得运算更快捷：
bool check(int x) {
return !(x & x >> 1);
}
只需一步，\(O(1)\)，性能提高十倍！\(x\)与\(x>>1\)进行相与，如果\(x\)有连续的数字，那么必
| \(x\) | \(1100\) |
|---|---|
| \(x>>1\) | \(0110\) |
| \(x\&(x>>1)\) | \(0100\) |
错位相与，结果大于\(0\)，就表示存在连续的\(1\)
结论：
错位相与，结果大于\(0\)，表示存在连续的\(1\)
3、与上一行对比，如果上一行某列放了国王，此列就不能放国王
(a & b) == 0
上一行的状态\(a\)与本行的状态\(b\),如果按位相与，结果为\(0\)，就是没有同列是\(1\)的情况。
结论：
上下相与，结果等于\(0\)，不存在同列数字\(1\)
4、与上一行对比，如果上一行某列放了国王，此列的45度方向也不能放国王
check(a | b)
这个就更妙了，先用\(a|b\),只要\(a\)或\(b\)的某一列有一个是\(1\)，那么本列结果就是\(1\)，起到了一个叠加的作用，这个结果，是在保证了上面同行没有连续数位是\(1\)的情况下进行讨论，此时，结果出现了连续\(1\)，只能是\(a\)与\(b\)存在 错列 连续\(1\)的情况，也就是\(45\)度相关。
结论：
在保证上下两行没有连续数位是\(1\)的情况下讨论, 上下相与，再做错位相与，可检查上下两行是否存在\(45^\circ\)度两个数字\(1\)
四、动态规划
状态表示
集合
\(f[i][j][k]\) 表示前\(i\)行已经摆完，放入了\(j\)个国王，并且 第\(i\)行状态是\(k\) 的所有方案。
属性
方案个数
状态计算
本行的预放入状态，需要与上一行 兼容，并且本行预放入的状态中包含的国王个数，需要小于限定的国王个数。
在满足了上面的两个条件后，就可以通过上一行和本行的状态，计算出由上一行迁移过来的方案数量。
预处理
双重循环遍历所有 合法状态 ，找出 合法状态之间的兼容关系
//i与i-1行之间的兼容关系记录下来
for (int a: st)
for (int b: st) {
//a&b==0:同列不是同时为1，表示列上面国王不冲突
//check(a|b)： 经或处理后的数字，如果存在连续的1，就表示斜45度有国王，不合法,妙不可言
if ((a & b) == 0 && check(a | b))
head[a].push_back(b);//记录合法的状态转移关系
}
\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 棋盘式状态压缩DP
typedef long long LL;
const int N = 12; // 棋盘的长宽上限,建议多开两个，防止溢出
const int M = 1 << 10; // 二进制枚举的状态数量上限，因为n最大是10,就是2^10个状态
const int K = 110; // 国王的个数上限
int n; // n*n的棋盘
int m; // 国王的数量
vector<int> st; // 所有合法的状态（预处理的结果）
vector<int> head[M]; // 某个状态兼容哪些状态（预处理的结果）,注意这个上限M，2022年8月13日曾经卡在这里2小时，被一个同学误导了
int cnt[M]; // 记录每种状态中的数字1个数，快速获取某行使用了多少个国王
LL f[N][K][M]; // 完成前i行，使用了j个国王，现在的状态是k:001010111之类，存在的是二进制对应的十进制数
// 判断数字x是不是有连续的1
bool check(int x) {
return !(x & x >> 1);
}
// 数字1的个数
int count(int x) {
int res = 0;
while (x) {
x = x & (x - 1);
res++;
}
return res;
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
// 1、筛选掉：同行出现连续1,保证同行不能出现连续1，表示国王不相邻
// 并且记录每个状态中数字1的个数是多少
for (int i = 0; i < 1 << n; i++) // 从啥也不摆到火力全开
if (check(i)) {
st.push_back(i); // 记录合法状态i
cnt[i] = count(i); // 记录合法状态i中有多少个国王（数字1）
}
// 双重循环遍历,找出相邻行之间的兼容关系
for (int a : st)
for (int b : st) {
if ((a & b) == 0 && check(a | b)) // 上下行，45度双重检查
head[a].push_back(b); // 记录合法的状态转移关系
}
// 3、DP
// 已经摆完了前0行，放置了0个国王，当前状态全是0，这种情况下只有全是0的状态是合法的，方案数为1
f[0][0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举每一行
for (int j = 0; j <= m; j++) // 枚举国王个数
for (int a : st) { // 枚举第i行的每一种可能状态
for (int b : head[a]) { // a状态的所有合法前序状态
int c = cnt[a]; // 状态a的国王数量
if (j >= c) f[i][j][a] += f[i - 1][j - c][b]; // 从上一层的状态转化而来
}
}
LL ans = 0;
// 在填充完n行之后，将m个国王放完，每一个合法状态都是可能的解，累加起来是答案
for (int a : st) ans += f[n][m][a];
cout << ans << endl;
return 0;
}
