AcWing 1053 修复DNA
\(AcWing\) \(1053\). 修复\(DNA\)
一、题目描述
生物学家终于发明了修复\(DNA\)的技术，能够将包含各种遗传疾病的\(DNA\)片段进行修复。
为了简单起见，\(DNA\)看作是一个由\(A\), \(G\) , \(C\) , \(T\)构成的字符串。
修复技术就是通过 改变字符串中的一些字符，从而消除字符串中包含的致病片段。
例如，我们可以通过改变两个字符，将\(DNA\)片段\(AAGCAG\)变为\(AGGCAC\)，从而使得\(DNA\)片段中不再包含致病片段\(AAG\)，\(AGC\)，\(CAG\)，以达到修复该\(DNA\)片段的目的。
需注意，被修复的\(DNA\)片段中，仍然只能包含字符\(A\), \(G\) , \(C\) , \(T\)。
请你帮助生物学家修复给定的\(DNA\)片段，并且 修复过程中改变的字符数量要尽可能的少。
输入格式
输入包含多组测试数据。
每组数据第一行包含整数\(N\)，表示致病\(DNA\)片段的数量。
接下来\(N\)行，每行包含一个长度不超过\(20\)的非空字符串，字符串中仅包含字符\(A\), \(G\) , \(C\) , \(T\)，用以表示致病\(DNA\)片段。
再一行，包含一个长度不超过\(1000\)的非空字符串，字符串中仅包含字符\(A\), \(G\) , \(C\) , \(T\)，用以表示待修复\(DNA\)片段。
最后一组测试数据后面跟一行，包含一个\(0\)，表示输入结束。
输出格式
每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
输入形如Case x: y，其中\(x\)为测试数据编号（从\(1\)开始），\(y\)为修复过程中所需改变的字符数量的最小值，如果无法修复给定\(DNA\)片段，则\(y\)为-1。
数据范围
\(1≤N≤50\)
输入样例：
2
AAA
AAG
AAAG
2
A
TG
TGAATG
4
A
G
C
T
AGT
0
输出样例：
Case 1: 1
Case 2: 4
Case 3: -1
二、前导知识
\(AC\)自动机
本题是多模式串，单文本串的问题，所以将不允许出现的模板串建\(AC\)自动机，在每个串末尾打一个标记。
三、解题思路
构建\(AC\)自动机，然后开始动态规划即可。
\(Q\):修复\(DNA\)是怎么个修复法,为什么引入\(AC\)自动机后就能使得修复\(DNA\)的修改量最小呢？
答：
① \(AC\)自动机
不管怎样，你得首先知道现在你的文本串中是不是有了病毒\(DNA\)片段，要是有了这样的片断，你还不知道，那就没的玩了，更不用谈怎么改了吧？
那你怎么才能快速知道你的文本串中是不是有了病毒\(DNA\)片段呢？而且 这些片断可是不止一组 啊！噢，以前学习过的 \(AC\)自动机 可以解决这个问题。
构建\(AC\)自动机是顺理成章的。构建目的：快速判断目前的文本串中是不是存在病毒\(DNA\)片断。
② 状态表示
在引入了\(AC\)自动机后，我们手中现在就有两个东西，一个是文本大串，另一个就是\(AC\)自动机，它们肯定要结合起来才能有用吧？
\(AC\)自动机的知识告诉我们，它是通过模式串+\(Trie\)树+\(Fail\)指针进行构建的（如果你这里不明白，先再看下\(AcWing\) \(1282\) 搜索关键词 吧）
然后，把长串开始逐个枚举字符，并在\(AC\)自动机中匹配相应的结点，它们两是这样关联在一起的啊！所以状态定义的形式就呼之预出了！
\(\large f[i][j]\):\(DNA\)长串扫描到第\(i\)个字母，且当前走到了\(trie\)里面的第\(j\)个节点的所有操作方案。
值是什么呢？面向答案编程嘛，定义为最少的修改数量
③ 状态转移
状态转移这玩意，一般都是找一个最普通的状态位置，比如\((i,j)\),别靠左，别靠右，别靠上，别靠下，就认为在中间，这样叫 最普通 ,对了，还得加一个限制:符合题意。
假设\(f[i][j]\)已经取得最小代价值，那么它将如何转移呢？
首先要想明白这是啥意思：就是已经成功走完了前\(i\)个字符，\(Trie\)中游标位置是\(j\),现在已经取得了最小修改代价值\(f[i][j]\),而且，目前没有出现过病毒片断。
考虑下一个可能的变化: 变化肯定是依托于文本串再读入一位吧，也就是\(i+1\)位，它变化了，那\(j\)怎么对应它的变化呢？
这个\(i+1\)位，它有两种可能：
- 需要修改(有\(3\)种改法)
- 不需要修改
啥时候需要修改，啥时候不需要修改呢？
为了尽量让修改次数小，那么当然是如果能不修改就不修改，实在不行再去修改。这么想就是贪心思路了，只能是局部最优，不是全局最优,这样想并不对。
为啥呢？
你想啊，如果现在改了，是增加了一次修改次数，但这条路线的后面可能就不用再修改，整不好还节约资源了呢。
那咋办？
这就是一个动态规划的过程，你要把所有可能的前序都准备好，思考他们改与不改的所有可能性，综合决策呗。
也就是当前在\(Trie\)树中的\(j\)节点上，有四条出边\(AGCT\)，我们要避开那些走完了就出现病毒片段终点的位置，走可以走的点，但走的代价是不相同的。
状态转移
回到理性思考：\(f[i+1][?]\)一定与\(f[i][j]\)之间存在\(DP\)关系，我们来思考一下第二维的转移关联关系：
也就是\(j\)可以转移成哪些\(x\)？肯定是\(AGCT\)四选一啊,也就是不改走其中之一，改的话走另三个呗。
那代价呢？
代价不就是修改的数量吗？如果\(str[i+1]\)和出边一致，那么代价就是\(0\)，如果不一致，就表示需要修改一下当前字符，代价就是\(1\)。
④ 初始化
- 预求最小，先设最大，\(INF\)预备上！
- 不能都是\(INF\),思考一下起点，当然是\(f[0][0]\),表示\(DNA\)还没有开始枚举，\(Trie\)树还处在\(root\)位置，此时的修改代价当然是\(0\)了，其它的靠递推吧
⑤ 答案在哪里？
当\(DNA\)文本串走完全程，\(Tire\)树中的节点可以在任意位置，需要一次循环，找到\(f[m][i]\)的\(PK\)最小值即可。
⑥ 为什么枚举答案时，\(Trie\)树中节点要包含\(0\)号？
答：因为可能是匹配最后一个字符中，由\(fail\)指针跳过来的，也是合法数据啊。
⑦ 什么情况下没有最小值呢？不是应该都有最小值吗？
举个栗子秒懂：就是用例\(3\)嘛：
4
A
G
C
T
AGT
\(A,G,C,T\)全是病毒片断，把你的路全堵上。
⑧ 为什么cnt[c] |= cnt[ne[c]];,这是啥意思？
举个栗子秒懂:
四、\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1010; // 致病DNA片段的数量上限50，每个DNA片段的长度不超过20，所以Trie树的结点个数最多不超过50*20=1000个节点
int n, m;
int tr[N][4], cnt[N], idx; // Trie树，每个节点最多四条出边ATGC，映射就0123,cnt表示每个节点为结尾的结束标识，idx：配合创建Trie树的导航员
int q[N], ne[N]; // AC自动机需要的队列数组，失配指针数组,ne[u]描述在u结点失配时，找到root~u的最长后缀相同的最长前缀root~v
char str[N]; // 第一轮当作模板串的录入存储器，完成构建Trie树后，第二轮当做文本串的存储器
int f[N][N]; // f[i][j]:DNA扫描到第i个字母，且当前走到了trie里面的第j个节点 的 所有操作方案中，最少的修改数量
int get(char c) {
if (c == 'A') return 0;
if (c == 'T') return 1;
if (c == 'G') return 2;
return 3;
}
void insert() { // 利用模板串构建Trie树
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i++) {
int t = get(str[i]);
if (tr[p][t] == 0) tr[p][t] = ++idx;
p = tr[p][t];
}
cnt[p] = 1; // 记录结束标识
}
// 构建AC自动机
void bfs() {
int hh = 0, tt = -1;
for (int i = 0; i < 4; i++) // 利用bfs进行构建，把第一层的节点入队列
if (tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];
while (hh <= tt) {
int p = q[hh++];
for (int i = 0; i < 4; i++) { // 尝试四个出边
int &c = tr[p][i];
if (!c)
c = tr[ne[p]][i];
else {
ne[c] = tr[ne[p]][i];
q[++tt] = c;
// c是不是终止节点，有两个判断来源：
// 1、自己本身就是模示串A的终点
// 2、它的失配指针指向的结点是模示串B的终点
cnt[c] |= cnt[ne[c]];
}
}
}
}
int main() {
int T = 1;
while (scanf("%d", &n), n) {
memset(tr, 0, sizeof tr);
memset(cnt, 0, sizeof cnt);
memset(ne, 0, sizeof ne);
idx = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
scanf("%s", str);
insert();
}
bfs();
// Q:为什么不直接从索引0开始读入呢？
// 答：你可以尝试以索引0开始读入，你会发现，后面的状态转移方程就无法使用f[i-1][j],因为数组下标越界了~哈哈，看来啊，都是先有状态转移方程，后有初始值，枚举序等东西
scanf("%s", str + 1);
m = strlen(str + 1);
memset(f, 0x3f, sizeof f); // 初始化动态规划数组,预求最小，先设最大
f[0][0] = 0; // 匹配了前0个字符，在Trie树中的节点号是0的情况下，此时代价为0
for (int i = 0; i < m; i++)
for (int j = 0; j <= idx; j++)
for (int k = 0; k < 4; k++) {
int t = get(str[i + 1]) != k;
int p = tr[j][k];
if (!cnt[p]) f[i + 1][p] = min(f[i + 1][p], f[i][j] + t);
}
// 找出最小值
int res = INF;
for (int i = 0; i <= idx; i++) res = min(res, f[m][i]);
// 没有最小值，返回-1
if (res == INF) res = -1;
printf("Case %d: %d\n", T++, res);
}
return 0;
}
