AcWing 1052. 设计密码
\(AcWing\) \(1052\). 设计密码
一、题目描述
你现在需要设计一个密码 \(S\)，\(S\) 需要满足：
- \(S\) 的长度是 \(N\)
- \(S\) 只包含小写英文字母(\(a\)~\(z\))
- \(S\) 不包含子串 \(T\)
例如：\(abc\) 和 \(abcde\) 是 \(abcde\) 的子串，\(abd\) 不是 \(abcde\) 的子串。
请问共有多少种不同的密码满足要求？
由于答案会非常大，请输出答案模 \(10^9+7\) 的余数。
输入格式
第一行输入整数\(N\)，表示密码的长度。
第二行输入字符串\(T\)，\(T\)中只包含小写字母。
输出格式
输出一个正整数，表示总方案数模 \(10^9+7\) 后的结果。
数据范围
\(1≤N≤50,1≤|T|≤N，|T|\)是\(T\)的长度。
输入样例1：
2
a
输出样例1：
625
输入样例2：
4
cbc
输出样例2：
456924
二、题目分析
① \(len=strlen(p+1)\) ，即\(len\)是模式串的长度
scanf("%s", a + 1); //输入abcdef，共6个字符,放过下标为0的位置，从下标为1开始
int len = strlen(a + 1); //含义：从a下标偏移为1开始，计算到末尾\0的长度
printf("%d", len); //输出答案：6,理解：让从1开始，到末尾，尾巴在哪里自己找，计算返回长度
② 模式串是固定的，但\(s\)串是动态随便生成的,\(s\)串中的每个位置上都有\(a \sim z\)共\(26\)种可能
闫氏\(DP\)分析法
预求
所有长度为\(n\)的生面的密码字符串中，不出现子串 \(p\) 的方案数
状态表示
- 集合
\(f[i][j]\):密码已生成\(i\)位，并且，第\(i\)位匹配到子串\(p\)的位置是\(j\)的所有方案 - 属性
\(count\)(方案数)
状态转移
\(\large f[i][j]\)：已经成功构建了一个长度为\(i\)的密码，当前密码串与模式串的匹配位置是\(j\)的情况
思考它的下一步变化：
-
① 下一步枚举尝试的字符，与\(p\)串的\(p[j+1]\)相等，并且，需要满足\(p\)串的\(j+1<m\),也就是不能完整匹配成功。 $$\large f[i+1][j+1]+=f[i][j] \ (j+1<m)$$
\((i,j)\)状态的方案数可以累加到\((i+1,j+1)\)状态的方案数上去 -
②下一步枚举尝试的字符，与\(p\)串的\(p[j+1]\)不等，那么当前 状态匹配 会去往何方呢？根据\(kmp\)知识，就是 目标 密码已经生成了\(i+1\)位，并且，第\(i+1\)位匹配到子串的位置是\(x\)时的方案数 ！那这个\(x\)是什么东西呢？就是 失配时的跳转位置。
\(Q\):为啥这么做对呢？
你想啊，现在要构造的密码串，是不是得避开模式串\(p\),也就是不允许密码串中出现模式串\(p\),换言之，见到模式串\(p\)就不允许选择，那你怎么能快速知道一个长串中是不是包含了某个子串\(p\)呢？当然是用\(kmp\)啊！
时刻保持警惕心，怕碰到红线，不允许出现\(p\)串，不就是随时需要记录准备好现在与\(p\)串匹配了多少吗，这个都不记录，你知道下面会不会出现\(p\)串？当然不能啦。
初始值
\(f[0][0]=1\)
结果
\(\displaystyle res=f[n][0]+f[n][1]+f[n][2]+....+f[n][m-1]=\sum_{j=0}^{m-1}f[n][j]\)
\(s\)串必须有\(n\)个长度，但\(p\)串不允许匹配到\(m\),最多只能到\(m-1\),到了\(m\)的话，就是完整匹配，也就是\(s\)串包含了\(p\)串。
四、\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
const int MOD = 1e9 + 7;
int n, ne[N];
int f[N][N];
char p[N];
int res;
int main() {
scanf("%d %s", &n, p + 1); // 读入模式串,存入到p数组中，下标从1开始
int m = strlen(p + 1); // 模式串的长度,读到\0结束，会自动计算出p串的长度
// kmp利用模式串求ne数组【模板】
for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if (p[i] == p[j + 1]) j++;
ne[i] = j;
}
f[0][0] = 1; // 递推起点,文本串0个字符，模板串0个字符，此时，方案数是1，其它状态都是0种方案
// 开始填充dp表,为什么i,j都要从0开始呢？这其实要先看一下状态转移方程f[i][j]出现在了方程中，而初始值是边界
// f[0][0]=1,所以填表的时候，自然也就是从i=0,j=0开始才能使用上初始值
for (int i = 0; i < n; i++) // 阶段
for (int j = 0; j < m && j <= i; j++) // 匹配长度,需要注意的是完成一个字符ch的匹配，则j++,所以，j的上限是m-1,以达到f[n][m]的最终状态
for (char ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) { // 准备填充的下一个字符ch
int u = j; // 要退到哪里去呢？
while (u && ch != p[u + 1]) u = ne[u]; // 不断回退，找到新起点
if (ch == p[u + 1]) u++; // 如果匹配下一个字符
f[i + 1][u] = (f[i + 1][u] + f[i][j]) % MOD;
}
// 枚举源串长度是n, 模式串匹配度不足m的，累加
for (int i = 0; i < m; i++) res = (res + f[n][i]) % MOD;
cout << res << endl;
return 0;
}
