Acwing 1058 股票买卖V

$AcWing$ $1058$. 股票买卖 $V$

一、题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数组 $w$，数组的第 $i$ 个元素 $w_i$ 表示第 $i$ 天的股票 价格

• 一次买入一次卖出为一笔 合法交易，且 不能同时产生多笔交易（必须在再次购买前出售掉之前的股票）

• 卖出股票后，无法在第二天买入股票（冷冻期为$1$天）

设计一个方案，使得总利润 最大

输入格式
第一行包含整数 $N$，表示数组长度。

第二行包含 $N$ 个不超过 $10000$ 的正整数，表示完整的数组。

输出格式
输出一个整数，表示最大利润。

数据范围
$1≤N≤10^5$

输入样例：

5
1 2 3 0 2

输出样例：

3

样例解释
对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]，第一笔交易可得利润 $2-1 = 1$，第二笔交易可得利润 $2-0 = 2$，共得利润 $1+2 = 3$。

二、题目分析

以 线性 的方式 动态规划，考虑第 $i$ 阶段/天 的状态，需要记录的参数有哪些：

第 $i$ 天的 决策状态：
$(j=0)$ 当前没有股票，且不处于冷冻期 （空仓）
$(j=1)$ 当前有股票 （持仓）
$(j=2)$ 当前没有股票(当天卖出了股票)，处于冷冻期 （冷冻期）

注意：这里的 冷冻期 状态，实际意义是指当天卖出了股票，所以后一天是没法交易

三、状态机模型分析

如果第 $i$ 天是 空仓 $j=0$ 状态，则 $i-1$ 天可能是 空仓 $j=0$ 或 冷冻期 $j=2$ 的状态

如果第 $i$ 天是 持仓 $j=1$ 状态，则 $i-1$ 天可能是 持仓 $j=1$ 状态 或 空仓 $j=0$ 的状态,在第$i$天选择了买入

如果第 $i$ 天是 冷冻期 $j=2$ 状态，则 $i-1$ 天只可能是 持仓 $j=1$ 状态，在第 $i$ 天选择了 卖出

四、闫氏DP分析法

状态表示$f[i][j]$属性: 考虑前 $i$ 天股市，当前第 $i$ 天的状态是 $j$ 的方案

状态表示$f[i][j]$集合: 方案的总利润 最大$Max$

状态计算$f[i][j]$

$$\large \left\{\begin{array}{l} f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][2]) \\ f[i][1]=max(f[i-1][1],f[i-1][0]-w_i) \\ f[i][2]=f[i-1][1]+w_i \end{array}\right.$$

初始状态： $f[i][0]=0$ , 其它的状态初始化为$-INF$

目标状态： $f[n][j]$其中$j=0,2$

$Code$

时间复杂度： $O(N)$
空间复杂度： $O(N)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;

int n;
int w[N];
int f[N][3];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
    //无法判定或肯定不合理的
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    //这些状态是合理的
    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 0;
    //开始进行状态转移
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2]);
        f[i][1] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0] - w[i]);
        f[i][2] = f[i - 1][1] + w[i];
    }
    printf("%d\n", max(f[n][0], f[n][2]));
    return 0;
}