AcWing 487 金明的预算方案
\(AcWing\) \(487\). 金明的预算方案
一、题目描述
金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。
更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过\(N\)元钱就行”。
今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。
每个主件可以有\(0\)个、\(1\)个或\(2\)个附件。
附件不再有从属于自己的附件。
金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的\(N\)元。
于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为\(5\)等：用整数\(1\sim 5\)表示，第\(5\)等最重要。
他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是\(10\)元的整数倍）。
他希望在不超过\(N\)元（可以等于\(N\)元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第\(j\)件物品的价格为\(v[j]\)，重要度为\(w[j]\)，共选中了\(k\)件物品，编号依次为\(j_1\)，\(j_2\)，…，\(j_k\)，则所求的总和为：
（其中\(*\)为乘号）
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入格式
输入文件的第\(1\)行，为两个正整数，用一个空格隔开：\(N\) \(m\)，其中\(N\)表示总钱数，\(m\)为希望购买物品的个数。
从第\(2\)行到第\(m+1\)行，第\(j\)行给出了编号为\(j-1\)的物品的基本数据，每行有\(3\)个非负整数v p q，其中\(v\)表示该物品的价格，\(p\)表示该物品的重要度（\(1\)~\(5\)），\(q\)表示该物品是主件还是附件。
如果\(q=0\)，表示该物品为主件，如果\(q>0\)，表示该物品为附件，\(q\)是所属主件的编号。
输出格式
输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（\(<200000\)）。
数据范围
\(N<32000,m<60,v<10000\)
输入样例：
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
输出样例：
2200
二、分组背包解法
直接上 分组背包 的 闫氏\(DP\) 分析法
初始状态 ：\(f[0][0]\)
目标状态 ：\(f[N][M]\)
状态表示
\(f[i][j]\) 从前 \(i\) 组物品中选择且总体积不大于 \(j\) 的最大价值
状态计算
针对第 \(i\) 组物品，将整个状态划分成 \(s[i]+1\) 类：
- 第\(i\)组物品一个都不要：\(f[i][j] = f[i-1][j]\)
- 选第 \(i\) 组物品的第一个物品：\(f[i][j] = f[i-1][j-v[1]]+w[1]\)
- 选第 \(i\) 组物品的第二个物品：\(f[i][j] = f[i-1][j-v[2]]+w[2]\)
- 选第 \(i\) 组物品的第 \(k\) 个物品：\(f[i][j] = f[i-1][j-v[k]]+w[k]\)
状态转移
状态初始化
\(f[0][0\sim m] = 0\) 表示在选择 0 件物品时对于任何体积来讲，其最大价值均为 0
前导知识 \(AcWing\) \(9\). 分组背包问题
\((1)\) 打包的三种方法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<string> a = {"1"};
vector<string> b = {"2", "3", "4"};
void dfs(int u, string s) {
if (u == 3) {
cout << s << " ";
return;
}
dfs(u + 1, s);
dfs(u + 1, s + "," + b[u]);
}
// 生成分组信息
int main() {
// ①二进制枚举法【正规方法】
// 因为手动录入了第一个元素，所以这里枚举避开了全不选的0
int sz = b.size();
for (int i = 1; i < 1 << sz; i++) { // 1~2^3.模拟每个数
string t = a[0];
for (int j = 0; j < sz; j++) // 每个数位
if (i >> j & 1) // 如果此位置为1,表示当前数字出现在组合中
t = t + "," + b[j];
a.push_back(t);
}
for (auto c : a) cout << c << " ";
puts("");
// ② dfs【一般推荐】
dfs(0, a[0]);
puts("");
// ③ 多次循环法【不推荐】
a = {"1"};
b = {"2", "3", "4"};
for (int i = 0; i < b.size(); i++) {
sz = a.size();
for (int j = 0; j < sz; j++)
a.push_back(a[j] + "," + b[i]);
}
for (auto c : a) cout << c << " ";
// 清空再来
puts("");
return 0;
}
\((2)\) 二进制枚举法+分组背包模板
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 利用二进制枚举进行分组
const int N = 60, M = 32010;
struct Node {
int w, v;
};
int n, m;
vector<Node> a[N]; // 主件
vector<Node> b[N]; // 附件
int f[M];
int main() {
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int w, p, q;
cin >> w >> p >> q;
if (!q)
a[i].push_back({w, p * w});
else
b[q].push_back({w, p * w});
}
// 利用二进制枚举，生成分组的所有组合情况
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!a[i].size()) continue; // 只讨论主件，由主件进行构建
for (int j = 0; j < 1 << b[i].size(); j++) { // 每一组子件的组合情况
int v = a[i][0].v, w = a[i][0].w;
for (int k = 0; k < b[i].size(); k++)
if (j >> k & 1) v += b[i][k].v, w += b[i][k].w;
// 组内选一个
a[i].push_back({w, v});
}
}
// 分组背包模板
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= 0; j--)
for (int k = 0; k < a[i].size(); k++) // 注意：这里k是从0开始，因为vector的特点决定
if (j >= a[i][k].w)
f[j] = max(f[j], f[j - a[i][k].w] + a[i][k].v);
// 输出
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}
\((3)\)分组背包模板
以主件为组数来分,一组内有以下选法；
选主件，选主件+附件\(1\)，选主件+附件\(2\)，主件+附件\(1\)+附件\(2\)；
那么我们将这四种方案分别打包，再跑分组背包的模板即可；
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 利用循环法进行分组
const int N = 60, M = 32010;
struct Node {
int w, v;
};
int n, m;
vector<Node> a[N]; // 主件
vector<Node> b[N]; // 附件
int f[M];
int main() {
cin >> m >> n; // 容量上限，物品个数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int w, p, q;
cin >> w >> p >> q; // 体积,重要度，依赖哪个物品
if (!q) // 如果是主件
a[i].push_back({w, w * p}); // 记录主件i的列表中，有了only主件i这个东西
else
b[q].push_back({w, w * p}); // 记录主件q的列表中，有了一个附件
}
/*
比如物品A是1个主件，2个附件，应该最后有4种组合： 主件；主件+附件1；主件+附件2; 主件+附件1+附件2;
处理办法:
① 第一步先放主件，把附件先存着；直到主件放完，再去放附件；
② 循环的放；比如 主件+附件1+附件2=(主件+附件1)+附件2;也就是在前个物品基础之上再加上附件2
*/
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (auto c : b[i]) { // 遍历每个附件
int w = c.w, v = c.v;
int sz = a[i].size();
for (int j = 0; j < sz; j++)
a[i].push_back({a[i][j].w + w, a[i][j].v + v}); // 把扩展出来的组放在尾巴上
}
// 分组背包模板
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= 0; j--)
for (int k = 0; k < a[i].size(); k++) // 注意：这里k是从0开始，因为vector的特点决定
if (j >= a[i][k].w)
f[j] = max(f[j], f[j - a[i][k].w] + a[i][k].v);
// 输出
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}
