AcWing 11. 背包问题求方案数
\(AcWing\) \(11\). 背包问题求方案数
一、题目描述
有 \(N\) 件物品和一个容量是 \(V\) 的背包。每件物品只能使用一次。
第 \(i\) 件物品的体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 \(10^9+7\) 的结果。
输入格式
第一行两个整数，\(N，V\)，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 \(N\) 行，每行两个整数 \(v_i,w_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示 方案数 模 \(10^9+7\) 的结果。
数据范围
\(0<N,V≤1000\)
\(0<v_i,w_i≤1000\)
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
2
二、题目解析
本题是 背包DP 中的经典题型 —— 【背包DP求最优方案总数】
\(01\)背包的转移方程\(f[i,j] = max(f[i - 1,j],f[i - 1,j - v] + w)\)
其中\(g[i,j]\) 是 \(f[i,j]\)取最大值的方案数
若\(f[i,j]\)是从\(f[i - 1,j]\)转移过来的，则\(g[i,j] = g[i - 1,j]\)
若\(f[i,j]\)是从\(f[i - 1,j - v] + w\)转移过来的，则\(g[i,j] = g[i - 1,j - v]\)
若\(f[i,j]\)均能从\(f[i - 1,j]\)和\(f[i - 1,j - v] + w\)转移过来的，则\(g[i,j] = g[i - 1,j] + g[i - 1,j - v]\)
将所有的最大值所对应的 方案数累加 在一起，即为 方案数总和
不超过
初始值和结果的收集，都应该从实际意义出发，根据状态表示的定义不同，进行初始化和收集答案。
初始值
-
先考虑最特殊的\(f[0]\),对应的二维表示就是\(f[0][0]\),即：在前\(0\)个物品中选择，空间不超过\(0\)的情况下
\(f[0]\):在前\(0\)个物品中选择，空间最大是\(0\)，此时最大值是\(0\)，\(g[0] = 1\)，即此时方案数是\(1\)，什么都不能选，是唯一方案。
f[0] = 0, g[0] = 1; -
再来考虑\(f[1],f[2],...f[m]\),对应的二维表示就是\(f[0][1],f[0][2],f[0][3],...f[0][m]\),即：在前\(0\)个物品中选择，空间不超过\(1,2,3,...m\)的情况下
\(f[1]\):在前\(0\)个物品中选择，空间最多是\(1\)，最大值是\(0\)，方案数是\(1\)for (int i = 1; i <= m; i++) f[i] = 0, g[i] = 1; //默认体积最大为i时方案数为1
答案
因为本身定义就是 不超过\(i\) 的体积下，所以\(f[m]\)就是最大值，\(g[m]\)就是最大值时的方案数量。
恰好
-
考虑最特殊的\(f[0]\),对应的二维表示就是\(f[0][0]\),即：在前\(0\)个物品中选择，空间恰好是\(0\)的情况下。
\(f[0]\):在前\(0\)个物品中选择，空间恰好是\(0\)，此时最大值是\(0\)，\(g[0] = 1\)，即此时方案数是\(1\)，什么都不能选，是唯一方案。
f[0] = 0, g[0] = 1; -
再来考虑\(f[1],f[2],...f[m]\),对应的二维表示就是\(f[0][1],f[0][2],f[0][3],...f[0][m]\),即：在前\(0\)个物品中选择，空间恰好是\(1,2,3,...m\)的情况下。
\(f[1]\):在前\(0\)个物品中选择，空间恰好是\(1\)，此时这是不可能满足条件的。最大值不存在，是不合法状态，同时，因为是预求最大，就设置成最小。\(f[i]=-INF\).相应的，\(g[i]=0;\)for (int i = 1; i <= m; i++) f[i] = -INF, g[i] = 0;收集答案
因为本身定义就是 恰好\(i\) 的体积下，而最大值，未必就一定出现在 恰好 体积最大时，需要 枚举 一下所有空间，找出最大值，并且输出最大值对应方案数的 累加值。int mx = 0, res = 0; for (int i = 0; i <= m; i++) mx = max(mx, f[i]); //获取最大价值 for (int i = 0; i <= m; i++) if (mx == f[i]) res = (res + g[i]) % MOD; //等于最大价值的方案都添加 printf("%d\n", res);
三、空间最多为\(i\)的解法
二维写法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, MOD = 1e9 + 7;
int f[N][N], g[N][N]; // f[j]、g[j]分别表示体积最大为j时的最大价值、方案数
int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
// 初始化，两个二维表，第一列比较特殊，可以进行初始化
// f[0][0],g[0][0]
// 在前0个物品中选择，空间最多为0，只能什么也不选择，最大值f[0][0]=0,方案数：g[0][0]=1
f[0][0] = 0, g[0][0] = 1;
// f[0][1~m],g[0][1~m]
// 在前0个物品中选择，空间最多为1~m,最大值肯定是0，因为没的选择嘛，对应的方案数也是1
for (int i = 1; i <= m; i++) f[0][i] = 0, g[0][i] = 1;
// 从第二列开始吧
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举每个物品，理解为阶段
int v, w;
scanf("%d %d", &v, &w);
for (int j = 0; j <= m; j++) { // 枚举当前阶段可能的剩余体积
int val = f[i - 1][j]; // 在没选择当前物品前的最大价值
if (j >= v) { // 如果剩余体积可以装得下第i个阶段的物品,选择与否可能会影响最大价值
if (val > f[i - 1][j - v] + w) { // 如果选择了当前物品还不如不选
f[i][j] = val; // 那还是用原来的最大价值吧
g[i][j] = g[i - 1][j]; // 个数也随着迁移吧
} else if (val == f[i - 1][j - v] + w) { // 如果一样的价值呢？那就需要累加了
f[i][j] = val;
g[i][j] = (g[i - 1][j] + g[i - 1][j - v]) % MOD;
} else { // 如果可以理新呢？
f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w; // 更新最大值
g[i][j] = g[i - 1][j - v]; // 同步更新方案数量
}
} else { // 如果装不上，只能继承
f[i][j] = val;
g[i][j] = g[i - 1][j];
}
}
}
printf("%d\n", g[n][m]);
return 0;
}
一维写法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int MOD = 1e9 + 7;
int f[N], g[N];
int main() {
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
f[0] = 0, g[0] = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++) f[i] = 0, g[i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
scanf("%d%d", &v, &w);
for (int j = m; j >= v; j--) {
int val = f[j - v] + w;
if (val > f[j]) {
f[j] = val;
g[j] = g[j - v];
} else if (val == f[j])
g[j] = (g[j] + g[j - v]) % MOD;
}
}
printf("%d", g[m]);
return 0;
}
四、空间恰好为\(i\)的解法
一维写法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1001;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N], g[N]; // f[j]、g[j]分别表示体积恰好为j时的最大价值、方案数
int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
// 1、考虑最特殊的f[0],对应的二维表示就是f[0][0],即：在前0个物品中选择，空间恰好是0的情况下。
// f[0]:在前0个物品中选择，空间恰好是0，此时最大值是0，g[0] = 1，即此时方案数是1，什么都不能选，是唯一方案。
f[0] = 0, g[0] = 1;
// 2、再来考虑f[1],f[2],...f[m],对应的二维表示就是f[0][1],f[0][2],f[0][3],...f[0][m],即：在前0个物品中选择，空间恰好是1,2,3,...m的情况下。
// f[1]:在前0个物品中选择，空间恰好是1，此时这是不可能满足条件的。最大值不存在，是不合法状态，同时，因为是预求最大，就设置成最小。f[i]=-INF.相应的，g[i]=0;
for (int i = 1; i <= m; i++) f[i] = -INF, g[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
scanf("%d %d", &v, &w);
for (int j = m; j >= v; j--) {
int s = 0;
int t = max(f[j], f[j - v] + w);
if (t == f[j])
s = (s + g[j]) % MOD; //添加不更新的方案
if (t == f[j - v] + w)
s = (s + g[j - v]) % MOD; //添加更新的方案
f[j] = t;
g[j] = s;
}
}
//由于定义的状态表示是“空间恰好是i”，那么最大值的产生，可不一定存储在“空间恰好是m”的状态下，m及以下的各个状态，都可能装着最大值，
//我们遍历一次f数组，找出最大值，然后二次遍历f数组、g数组,累加可以获得最大值时的方案数量。
int mx = 0, res = 0;
for (int i = 0; i <= m; i++) mx = max(mx, f[i]); //获取最大价值
for (int i = 0; i <= m; i++)
if (mx == f[i]) res = (res + g[i]) % MOD; //等于最大价值的方案都添加
printf("%d\n", res);
return 0;
}
二维写法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1010;
int f[N][N], g[N][N]; // f[j]、g[j]分别表示体积恰好为j时的最大价值、方案数
int res;
int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
// f[0][0],g[0][0]
// 在前0个物品中选择，空间恰好是0，最大值f[0][0]=0,g[0][0]=1;
f[0][0] = 0, g[0][0] = 1;
// f[0][1~m],g[0][1~m]
// 在前0个物品中选择，空间恰好是1~m，这是胡说，是不可能的，最大值是f[0][i]=-INF,g[0][i]=0
for (int i = 1; i <= m; i++) f[0][i] = -INF, g[0][i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
scanf("%d %d", &v, &w);
for (int j = 0; j <= m; j++) {
int val = f[i - 1][j];
if (j >= v) {
if (val > f[i - 1][j - v] + w) {
f[i][j] = val;
g[i][j] = g[i - 1][j];
} else if (val == f[i - 1][j - v] + w) {
f[i][j] = val;
g[i][j] = (g[i - 1][j] + g[i - 1][j - v]) % MOD;
} else {
f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w;
g[i][j] = g[i - 1][j - v];
}
} else {
f[i][j] = val;
g[i][j] = g[i - 1][j];
}
}
}
//由于定义的状态表示是“空间恰好是i”，那么最大值的产生，可不一定存储在“空间恰好是m”的状态下，m及以下的各个状态，都可能装着最大值，
//我们遍历一次f数组，找出最大值，然后二次遍历f数组、g数组,累加可以获得最大值时的方案数量。
int mx = 0;
for (int i = 0; i <= m; i++) mx = max(mx, f[n][i]);
for (int i = 0; i <= m; i++)
if (f[n][i] == mx) res = (res + g[n][i]) % MOD;
printf("%d\n", res);
return 0;
}
