AcWing 426. 开心的金明

\(AcWing\) \(426\). 开心的金明

一、题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。

更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 \(N\) 元钱就行”。

今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 \(N\) 元。

于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 \(5\) 等：用整数 \(1\)∼\(5\) 表示，第 \(5\) 等最重要。

他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。

他希望在不超过 \(N\) 元（可以等于 \(N\) 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 \(j\) 件物品的价格为 \(v[j]\)，重要度为 \(w[j]\)，共选中了 \(k\) 件物品，编号依次为 \(j_1，j_2，…，j_k\)，则所求的总和为：

\[v[j_1]×w[j_1]+v[j_2]×w[j_2]+…+v[j_k]×w[j_k] \]

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式
输入文件的第 \(1\) 行，为两个正整数 \(N\) 和 \(m\)，用一个空格隔开。（其中 \(N\) 表示总钱数，\(m\) 为希望购买物品的个数）

从第 \(2\) 行到第 \(m+1\) 行，第 \(j\) 行给出了编号为 \(j−1\) 的物品的基本数据，每行有 \(2\) 个非负整数 \(v\) 和 \(p\)。（其中 \(v\) 表示该物品的价格，\(p\) 表示该物品的重要度）

输出格式
输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（数据保证结果不超过 \(10^8\)）。

数据范围
\(1≤N<30000,1≤m<25,0≤v≤10000,1≤p≤5\)

输入样例：

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

输出样例：

3900

二、题目分析

将原问题做如下转化:

总钱数相当于背包总容量；

每件物品的价格相当于体积；

每件物品的价格乘以重要度相当于价值；

那么就变成了经典的\(01\)背包问题。

01背包模型

状态表示\(f(i,j)\)—集合： 考虑前 \(i\) 个物品，且当前已使用体积为$ j$ 的方案

状态表示\(f(i,j)\)—属性： 该方案的价值为最大值 \(max\)

状态转移\(f(i,j)\)：

\[\large f(i,j)=\begin{matrix} \left\{ \begin{array}{lr} max\{f(i-1,j)\} & 不选第i个物品 \\ max\{f(i-1,j-v_i)+w_i\} & 选第i个物品 \end{array} \right. \end{matrix}\]

初始状态：\(f[0][0]\)

目标状态：\(f[n][m]\)

集合划分

\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 30010;

int n, m;
int f[N];

int main() {
    //物品个数n
    scanf("%d %d", &m, &n); //注意一下这里输入的顺序

    // 01背包模板
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        scanf("%d %d", &v, &w);
        for (int j = m; j >= v; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + v * w);
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}