AcWing 1020. 潜水员

\(AcWing\) \(1020\). 潜水员

一、题目描述

潜水员为了潜水要使用特殊的装备。

他有一个带\(2\)种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。

让潜水员下潜的深度需要各种数量的氧和氮。

潜水员有一定数量的气缸。

每个气缸都有重量和气体容量。

潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。

他完成工作所需气缸的总重的 最低限度 的是多少？

例如：潜水员有\(5\)个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：

3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119

如果潜水员需要\(5\)升的氧和\(60\)升的氮则总重最小为\(249\)（\(1，2\)或者\(4，5\)号气缸）。

你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的 最低值。

输入格式
第一行有\(2\)个整数 \(m，n\)。它们表示氧，氮各自需要的量。

第二行为整数 \(k\) 表示气缸的个数。

此后的 \(k\) 行，每行包括\(a_i，b_i，c_i\)，\(3\)个整数。这些各自是：第 \(i\) 个气缸里的氧和氮的容量及气缸重量。

输出格式
仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

数据范围
\(1≤m≤21,1≤n≤79,1≤k≤1000,1≤a_i≤21,1≤b_i≤79,1≤c_i≤800\)

输入样例：

5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119

输出样例：

249

二、与普通二维背包费用问题的区别

• 普通的二维背包费用问题
  \(f(i,j,k)\) 表示从前\(i\)个物品中选，且花费\(1\)不超过\(j\),花费\(2\)不超过\(k\)的 最大 价值

• 潜水员
  \(f(i,j,k)\) 表示从前\(i\)个物品中选，且花费\(1\)不少于\(j\),花费\(2\)不少于\(k\)的 最小 价值

本题是一个 二维费用\(01\)背包问题 ，但和一般的 二维费用\(01\)背包问题 不同

这题要求的是 费用不少于 规定条件，因此我们需要对于 状态的定义 进行改变

闫氏\(DP\)分析法

这样分析完，似乎与普通的二维费用背包没有区别！这肯定是不可能的，我们必然是遗漏了些什么！！

考虑\(j-v_1<0\),\(k-v_2<0\)的情况!

有普通的二维费用背包问题中，\(j,k\)是不能进行超载的，超过了背包就太重， 背包就 漏 了！

在本题中是 可以超载 的，理解一下超载是什么意思：

• \(j\):氧气还需要\(j\)升
• \(k\):氮气还需要\(k\)升

举栗子：\(j=2,k=5\),就是氧气还需要\(2\)升，氮气还需要\(5\)升，现在出现的某个气瓶，氧气\(20\)升，氮气\(50\)升，一个就可以把你的需求满足，那么请问：你还需要氧气多少升、氮气多少升呢？

答：不需要，都可以满足要求了，即\(j=0,k=0\),也就是\(f[i-1][0][0]+w\),而对于一个无欲无求的\(f[i-1][0][0]\)自然是等于\(0\),也就是\(f[i][j][k]=w\)

三、三维解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 110;
int n, m, m1, m2;
int f[N][M][M];

int main() {
    cin >> m1 >> m2 >> n;
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0][0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v1, v2, w;
        cin >> v1 >> v2 >> w;
        for (int j = 0; j <= m1; j++)
            for (int k = 0; k <= m2; k++) {
                f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
                f[i][j][k] = min(f[i - 1][j][k], f[i - 1][max(0, j - v1)][max(0, k - v2)] + w);
            }
    }
    cout << f[n][m1][m2] << endl;
    return 0;
}

四、二维解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 22, M = 80;

int n, m, K;
int f[N][M];

int main() {
    cin >> n >> m >> K;

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    while (K--) {
        int v1, v2, w;
        cin >> v1 >> v2 >> w;
        for (int i = n; i >= 0; i--)
            for (int j = m; j >= 0; j--)
                f[i][j] = min(f[i][j], f[max(0, i - v1)][max(0, j - v2)] + w);
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}