AcWing 1020. 潜水员
\(AcWing\) \(1020\). 潜水员
一、题目描述
潜水员为了潜水要使用特殊的装备。
他有一个带\(2\)种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。
让潜水员下潜的深度需要各种数量的氧和氮。
潜水员有一定数量的气缸。
每个气缸都有重量和气体容量。
潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。
他完成工作所需气缸的总重的 最低限度 的是多少？
例如：潜水员有\(5\)个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119
如果潜水员需要\(5\)升的氧和\(60\)升的氮则总重最小为\(249\)（\(1，2\)或者\(4，5\)号气缸）。
你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的 最低值。
输入格式
第一行有\(2\)个整数 \(m，n\)。它们表示氧，氮各自需要的量。
第二行为整数 \(k\) 表示气缸的个数。
此后的 \(k\) 行，每行包括\(a_i，b_i，c_i\)，\(3\)个整数。这些各自是：第 \(i\) 个气缸里的氧和氮的容量及气缸重量。
输出格式
仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。
数据范围
\(1≤m≤21,1≤n≤79,1≤k≤1000,1≤a_i≤21,1≤b_i≤79,1≤c_i≤800\)
输入样例：
5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119
输出样例：
249
二、与普通二维背包费用问题的区别
-
普通的二维背包费用问题
\(f(i,j,k)\) 表示从前\(i\)个物品中选，且花费\(1\)不超过\(j\),花费\(2\)不超过\(k\)的 最大 价值 -
潜水员
\(f(i,j,k)\) 表示从前\(i\)个物品中选，且花费\(1\)不少于\(j\),花费\(2\)不少于\(k\)的 最小 价值
本题是一个 二维费用\(01\)背包问题 ，但和一般的 二维费用\(01\)背包问题 不同
这题要求的是 费用不少于 规定条件，因此我们需要对于 状态的定义 进行改变
闫氏\(DP\)分析法
这样分析完，似乎与普通的二维费用背包没有区别！这肯定是不可能的，我们必然是遗漏了些什么！！
考虑\(j-v_1<0\),\(k-v_2<0\)的情况!
有普通的二维费用背包问题中，\(j,k\)是不能进行超载的，超过了背包就太重， 背包就 漏 了！
在本题中是 可以超载 的，理解一下超载是什么意思：
- \(j\):氧气还需要\(j\)升
- \(k\):氮气还需要\(k\)升
举栗子：\(j=2,k=5\),就是氧气还需要\(2\)升，氮气还需要\(5\)升，现在出现的某个气瓶，氧气\(20\)升，氮气\(50\)升，一个就可以把你的需求满足，那么请问：你还需要氧气多少升、氮气多少升呢？
答：不需要，都可以满足要求了，即\(j=0,k=0\),也就是\(f[i-1][0][0]+w\),而对于一个无欲无求的\(f[i-1][0][0]\)自然是等于\(0\),也就是\(f[i][j][k]=w\)
三、三维解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 110;
int n, m, m1, m2;
int f[N][M][M];
int main() {
cin >> m1 >> m2 >> n;
memset(f, 0x3f, sizeof f);
f[0][0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v1, v2, w;
cin >> v1 >> v2 >> w;
for (int j = 0; j <= m1; j++)
for (int k = 0; k <= m2; k++) {
f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
f[i][j][k] = min(f[i - 1][j][k], f[i - 1][max(0, j - v1)][max(0, k - v2)] + w);
}
}
cout << f[n][m1][m2] << endl;
return 0;
}
四、二维解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 22, M = 80;
int n, m, K;
int f[N][M];
int main() {
cin >> n >> m >> K;
memset(f, 0x3f, sizeof f);
f[0][0] = 0;
while (K--) {
int v1, v2, w;
cin >> v1 >> v2 >> w;
for (int i = n; i >= 0; i--)
for (int j = m; j >= 0; j--)
f[i][j] = min(f[i][j], f[max(0, i - v1)][max(0, j - v2)] + w);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
