AcWing 532. 货币系统

$AcWing$ $532$. 货币系统

一、题目描述

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i]×t[i]$ 的和为 $x$。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 $n=3, a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算 简化一下 货币系统。

他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。

每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。

接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

输出格式
输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

数据范围
$1≤n≤100,1≤a[i]≤25000,1≤T≤20$

输入样例：

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17 

输出样例：

2
5

二、题目解析

大写的 简化 ！明显在提示我们可以只简化，不用考虑替换成其它的货币金额啊！如果只是简化，那么简单：

• 将货币面额排序（因为给的面额是无序的）

• 每一个面额考查它能不能被它之前的面额描述出来，如果能，它就没有存在的必要。将这类的货币从系统中去除就可以得到等价的最小数量货币系统。

可以用$dp$求出能表示该面额的方案数，若对于一张货币方案数唯一（即只能被自己表示），则这张货币不能被省略，反之可以被省略，最后统计一下就行了。

三、完全背包+求方案数

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;   // N个正整数
const int M = 25010; // 表示的最大金额上限
int n;               // 实际输入的正整数个数
int v[N];            // 每个输入的数字,也相当于占用的体积是多大
int f[M];            // 二维优化为一维的DP数组，f[i]：面额为i时的前序货币组成方案数

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        // 每轮初始化一次dp数组，因为有多轮
        memset(f, 0, sizeof f);

        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> v[i];
        // 每个货币的金额，都只能由比它小的货币组装而成，需要排一下序
        sort(v, v + n);

        // 背包容量
        int m = v[n - 1];

        // 在总金额是0的情况下，只有一种方案
        f[0] = 1;
        
        // 恰好装满：计算每个体积（面额）的组成方案
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = v[i]; j <= m; j++)
                f[j] += f[j - v[i]];

        // 统计结果数
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            // 如果当前面额的组成方案只有一种，那么它只能被用自己描述自己，不能让其它人描述自己
            // 这个面额就必须保留
            if (f[v[i]] == 1) res++;
        // 输出结果
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}