AcWing 1021. 货币系统

\(AcWing\) \(1021\). 货币系统

【总结】背包问题的至多/恰好/至少

一、题目描述

给你一个\(n\)种面值的货币系统，求组成面值为\(m\)的货币有多少种方案。

输入格式
第一行，包含两个整数\(n\)和\(m\)。

接下来\(n\)行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示方案数。

数据范围
\(n≤15,m≤3000\)

输入样例：

3 10
1
2
5

输出样例：

10

二、题目解析

本题与上一题买书问题基本一模一样，只是方案数可能很大，需要用long long来存储。

状态表示
\(f[i][j]\)表示用前i种面值的货币组成面值为\(j\)的方案数
状态转移方程为\(f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-v]\)
边界状态为\(f[0][0] = 1\)

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 20;
const int M = 3010;
int n, m;
LL v[N];
LL f[M];

int main() {
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i];
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] += f[j - v[i]];
    }
    printf("%lld\n", f[m]);
    return 0;
}

四、 扩展阅读：重复组合公式

重复组合
重复组合(\(Combination\) \(With\) \(Repetition\))（重复组合）是组合数学中的一种计数方法，用于计算从一个包含\(n\)个对象的集合中选择\(k\)个对象的方式数，这其中 允许出现重复的对象 但是顺序不重要。

计算公式
从\(n\)个不同的元素每次取出\(r\)个元素的 允许重复 组合总数为:

\[\huge C_{n+r-1}^r \]

公式证明（插板法）

把\(n\)种元素当成\(n\)个顺序摆放的盒子，\(r\)个完全相同的球，这样从\(n\)种元素中有重复取\(r\)个元素的方法就转化成，把\(r\)个同质球放入\(n\)个盒子的方法。

为什么可以这样呢?想一想，把一个球放到第\(i\)个盒子就相当于从\(n\)种元素中我们取的第\(i\)种元素，如果有多个球放在第\(i\)个盒子中，相当于从\(n\)个元素中重复了取了第\(i\)种元素。

空间中\(n+1\)条 ‘|’ 把空间分成\(n\)个盒子

举个例子\(n=6\)，也就是\(6\)个盒子

盒子1	盒子2	盒子3	盒子4	盒子5	盒子6

那么我们往里面放球用 \(\bullet\) 表示
则有

\(\bullet\)	\(\bullet\) \(\bullet\) \(\bullet\) \(\bullet\)		\(\bullet\) \(\bullet\) \(\bullet\)		\(\bullet\)

我们发现,除去两边边界的 |
实际的摆放方法就是\(n-1\)个 |  和 \(r\)个 \(\bullet\)  的不同摆放方式

所以共有\(n+r-1\)个位置

我们从中选择\(r\)个位置放上小球即可

因此得到公式

\[\huge C_{n+r-1}^{r} \]

利用公式估算数据范围

\[\LARGE C_{3000+15-1}^{3000}=C_{3014}^{14}=\frac{3014!}{14!\times 3000!}=\frac{3001\times ... \times 3014}{14!} \]

最坏的情况

最坏的情况为存在\(15\)种货币且每种货币的价值为\(1\)，要求组合成价值\(3000\)的货币,每种货币无个数限制。

由于题目中说了，每种货币的价值并不相同，也就是上面论述的每个盒子里面不能随意放入最多\(r\)个小球，受每个盒子上限不同的限制。根据公式求出的数值，肯定是大于真实的数值。

按公式计算出的数值,要大于int的范围,如果此题数据为最坏情况，那么long long也会爆掉。