AcWing 1021. 货币系统

$AcWing$ $1021$. 货币系统

【总结】背包问题的至多/恰好/至少

一、题目描述

给你一个$n$种面值的货币系统，求组成面值为$m$的货币有多少种方案。

输入格式
第一行，包含两个整数$n$和$m$。

接下来$n$行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示方案数。

数据范围
$n≤15,m≤3000$

输入样例：

3 10
1
2
5

输出样例：

10

二、题目解析

本题与上一题买书问题基本一模一样，只是方案数可能很大，需要用long long来存储。

状态表示
$f[i][j]$表示用前i种面值的货币组成面值为$j$的方案数
状态转移方程为$f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-v]$
边界状态为$f[0][0] = 1$

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 20;
const int M = 3010;
int n, m;
LL v[N];
LL f[M];

int main() {
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i];
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] += f[j - v[i]];
    }
    printf("%lld\n", f[m]);
    return 0;
}

四、 扩展阅读：重复组合公式

重复组合
重复组合($Combination$ $With$ $Repetition$)（重复组合）是组合数学中的一种计数方法，用于计算从一个包含$n$个对象的集合中选择$k$个对象的方式数，这其中 允许出现重复的对象 但是顺序不重要。

计算公式
从$n$个不同的元素每次取出$r$个元素的 允许重复 组合总数为:

$$\huge C_{n+r-1}^r$$

公式证明（插板法）

把$n$种元素当成$n$个顺序摆放的盒子，$r$个完全相同的球，这样从$n$种元素中有重复取$r$个元素的方法就转化成，把$r$个同质球放入$n$个盒子的方法。

为什么可以这样呢?想一想，把一个球放到第$i$个盒子就相当于从$n$种元素中我们取的第$i$种元素，如果有多个球放在第$i$个盒子中，相当于从$n$个元素中重复了取了第$i$种元素。

空间中$n+1$条 ‘|’ 把空间分成$n$个盒子

举个例子$n=6$，也就是$6$个盒子

盒子1	盒子2	盒子3	盒子4	盒子5	盒子6

那么我们往里面放球用 $\bullet$ 表示
则有

$\bullet$	$\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$		$\bullet$ $\bullet$ $\bullet$		$\bullet$

我们发现,除去两边边界的 |
实际的摆放方法就是$n-1$个 |  和 $r$个 $\bullet$  的不同摆放方式

所以共有$n+r-1$个位置

我们从中选择$r$个位置放上小球即可

因此得到公式

$$\huge C_{n+r-1}^{r}$$

利用公式估算数据范围

$$\LARGE C_{3000+15-1}^{3000}=C_{3014}^{14}=\frac{3014!}{14!\times 3000!}=\frac{3001\times ... \times 3014}{14!}$$

最坏的情况

最坏的情况为存在$15$种货币且每种货币的价值为$1$，要求组合成价值$3000$的货币,每种货币无个数限制。

由于题目中说了，每种货币的价值并不相同，也就是上面论述的每个盒子里面不能随意放入最多$r$个小球，受每个盒子上限不同的限制。根据公式求出的数值，肯定是大于真实的数值。

按公式计算出的数值,要大于int的范围,如果此题数据为最坏情况，那么long long也会爆掉。