AcWing 272. 最长公共上升子序列

$AcWing$ $272$. 最长公共上升子序列

一、题目描述

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究 最长公共上升子序列 了。

小沐沐说，对于两个数列 $A$ 和 $B$，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 $A$和 $B$ 的长度均不超过 $3000$。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$，表示数列 $A，B$ 的长度。

第二行包含 $N$个整数，表示数列 $A$。

第三行包含 $N$个整数，表示数列 $B$。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

$1≤N≤3000$,序列中的数字均不超过 $2^{31}−1$。

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

2

二、前导知识

$AcWing$ $895$. 最长上升子序列

状态表示 $f[i]$表示从第一个数字开始算，以$a[i]$ 结尾 的最长的上升序列长度。(以$a[i]$结尾的所有上升序列中属性为最长的那一个)

状态计算

$$\left\{\begin{array}{l} f[i] =1 & 默认值，前面没有比i小的，以a[i]结尾的最长个数是1 \\ f[i] = max(f[i], f[j] + 1) & 0 \le j<i \ \& \ a[j]<a[i] \end{array}\right.$$

$AcWing$ $897$. 最长公共子序列

定义$f[i][j]$是$a[]$以$i$结尾，$b[]$以$j$结尾的 最长公共子序列长度，但没有说$a[i]$或者$b[j]$一定要出现在最长公共子序列当中！这个最长公共子序列，可能是$a[]$和$b[]$的一些前序组成的，$a[i],b[j]$也可能没有对结果产生贡献。

$\large \left\{\begin{array}{l} f[i][j]=f[i-1][j-1]+1 & a[i]=b[j] \\ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]) & a[i] \neq b[j] \end{array}\right.$

这是两个经典$DP$模型的结合版：

$LIS$ (最长上升子序列，$Longest$ $Increasing$ $Subsequence$)

$LCS$ (最长公共子序列，$Longest$ $Common$ $Subsequence$)

$LCIS$ (最长公共上升子序列，$Longest$ $Common$ $Increasing$ $Subsequence$)

$LCIS$ 也是一个 相当经典 的$DP$模型，他的 状态分析 是 $LIS$ 与 $LCS$ 的结合，且听我慢慢道来

三、本题解法

闫氏$DP$分析法：(结合了$LCS$与$LIS$的状态表示的方法，可以很直接的发现二者的影子)

状态表示

• $f[i][j]$—集合：考虑 $a$ 中前 $i$ 个数字，$b$ 中前 $j$ 个数字 ，且当前以 $b[j]$ 结尾的子序列的方案

• $f[i][j]$—属性：$max($所有符合条件方案的子序列长度$)$

状态转移

• $\large a_i \neq b_j$
  考虑 $a$ 数组中前$i-1$个数字， $b$数组中前$j$个数字 ，且当前以 $b[j]$ 结尾的子序列的方案转移过来：

$$\large f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i−1,j}), a_i \neq b_j$$

• $\large a_i = b_j$
  考虑 $a$ 数组中前$i-1$个数字， $b$数组中前 $k$ 个数字 ，且当前以 $b[k]$ 结尾的子序列的方案转移过来：

$$\large f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i−1,k}+1),k∈[0,j−1],a_i=b_j,b_j>b_k$$

如果直接按上述思路实现，需要三重循环：

for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
    for (int j = 1; j <= n; j ++ ){
        f[i][j] = f[i - 1][j]; //不管a[i]是否等于b[j],f[i][j]一定会从f[i-1][j]继承过来
        if (a[i] == b[j]){
            int maxv = 1; //最起码命中了一个a[i]==b[j],LCIS最少是1
            for (int k = 1; k < j; k ++ )
                if (a[i] > b[k]) // 不光是公共，还要上升
                    maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
            f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
        }
    }
}

实现代码$O(N^3)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3010;
int a[N], b[N];
int f[N][N];
int res;

// O(n^3)
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // ① 二维DP打表的一般套路，都是可以直接从上一行继承的
            // ② 从题意出发，就是a中前i个数字，b中前j个数字，且以b[j]结尾的子序列中长度最大的
            // 那么，a中多整出一个数字来，最起码也是f[i-1][j]的值，不能更小
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            // ③ 如果恰好 a[i]==b[j],那么就可以发生转移
            if (a[i] == b[j]) {
                int maxv = 1; // 最起码a[i]==b[j]，有一个数字是一样嘀~
                // f[i-1]是肯定的了，问题是b的前驱在哪里？需要枚举1~j-1
                for (int k = 1; k < j; k++)
                    if (a[i] > b[k]) // 公共还不成，还需要上升
                        // 找出公共且最长的
                        maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
                // 更新答案
                f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
            }
        }
    int res = 0;
    // a数组肯定是火力全开到n就行，b数组中的位置就需要枚举了
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]);
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

四、优化

$Q$:朴素办法超时($10/16$)，如何优化？

观察到，对于第二种状态转移：$f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i−1,k}+1) \ k∈[0,j−1],a_i=b_j,b_j>b_k$

每次用到的 状态 都是第 $i - 1$ 个阶段的

因此我们可以用一个变量，存储上一个阶段的能够接在 $a[i]$ 前面的最大的状态值

最终答案枚举子序列结尾取最大值即可。

实现代码$O(N^2)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 3010;
int a[N], b[N];
int f[N][N];
int res;

// O(n^2)
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int maxv = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
            if (a[i] > b[j]) maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1);
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]);
    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

五、空间优化

本题还可以继续优化成一维数组，但在现实中意义不大。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3010;

int a[N], b[N], f[N], n;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int maxv = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (a[i] == b[j]) f[j] = max(maxv, f[j]);
            if (a[i] > b[j]) maxv = max(f[j] + 1, maxv);
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[i]);

    cout << res << endl;
    return 0;
}