AcWing 187. 导弹防御系统
\(AcWing\) \(187\). 导弹防御系统
一、题目描述
为了对抗附近恶意国家的威胁，\(R\) 国更新了他们的导弹防御系统。
一套防御系统的导弹拦截高度 要么 一直 严格单调 上升 要么 一直 严格单调 下降。
例如，一套系统先后拦截了高度为 \(3\) 和高度为 \(4\) 的两发导弹，那么接下来该系统就只能拦截高度大于 \(4\) 的导弹。
给定即将袭来的一系列导弹的高度，请你 求出至少需要多少套防御系统，就可以将它们全部击落。
输入格式
输入包含多组测试用例。
对于每个测试用例，第一行包含整数 \(n\)，表示来袭导弹数量。
第二行包含 \(n\)个不同的整数，表示每个导弹的高度。
当输入测试用例 \(n=0\) 时，表示输入终止，且该用例无需处理。
输出格式
对于每个测试用例，输出一个占据一行的整数，表示所需的防御系统数量。
数据范围
\(1≤n≤50\)
输入样例：
5
3 5 2 4 1
0
输出样例：
2
样例解释
对于给出样例，最少需要两套防御系统。
一套击落高度为 \(3,4\)的导弹，另一套击落高度为 \(5,2,1\) 的导弹。
二、 题目解析
1、分析
导弹拦截高度要么一直上升要么一直下降。
有的导弹拦截系统可以选择上升，有的可以选择下降，不是单纯地问 所存在的序列可以划分为多少组上升子序列 的问题
狄尔沃斯定理，所以不能用之前的方法解, 本题可以上升可以下降，该定理无效。
2、思路
使用 暴搜
从问题的解出发，最终问题的答案是有许多单调上升子序列和许多单调下降子序列，对于每个数，思考分别将该数放到上升序列中还是下降序列中,不断走二叉树的不同分支
3、题解
\(up[]\) 存储当前所有上升子序列的末尾元素
\(down[]\) 存储当前所有下降子序列的末尾元素
\(Q\):如何进行搜素
假设现在要把一个数放入一个上升序列，那么一定是所有能放入的上升序列中，最后一个元素最大的那一个。
理由：既然每个数字都要放到一个序列中，对于上升序列，肯定是目前越小越有用，既然能放入大的里面，何必浪费一个小的呢。
注意:\(up[i]\)按这种策略已经是排好序的了，所以只用找最先碰到的一个就行了
三、\(dfs\)实现代码
时间\(O(n*2^n)\) 空间\(O(n)\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int a[N];
int up[N], down[N];
int res;
// 本题关键字：贪心+爆搜
/*
功能：暴搜所有可能，配合剪枝，找出最少的拦截系统数量
u: 第几个导弹
ul: 上升拦截系统的数量，配合up 数组使用
dl: 下降拦截系统的数量，配合down数组使用
*/
void dfs(int u, int ul, int dl) {
if (ul + dl >= res) return; // 伟大的剪枝，不剪枝会TLE~,中途发现已经大于等于res的情况，就返回
if (u == n) { // 走完全程,收集答案
res = ul + dl; // 因为上面的剪枝，把ul+dl>=res的全干掉了，能到这里的，都是<res的，都可以用来更新答案
return;
}
// 放入上升序列
int k = 0;
// 如果把当前导弹使用上升序列的拦截系统进行拦截，那个选择哪个系统呢？
for (k = 0; k < ul; k++)
if (up[k] <= a[u]) break; // up[0],up[1],up[2],... 这样套拦截系统，其数值来讲，是递减的，因为是因为不能再拦截高度更低的才创建了一套新的拦截系统
// 找出放到哪个拦截系统上去，结果为k
int t = up[k]; // 尝试在第k套系统进行拦截第u个导弹,那么，第u个导弹的高度就是第k套系统的新高度
up[k] = a[u]; // 问题是，我们也不一定非得让第u个导弹使用上升序列拦截系统，也可能使用下降序列拦截系统，所以需要记录当前值，回溯后，尝试下降序列拦截
if (k < ul) // 如果当前这些套拦截系统中可以找到某一套进行拦截
dfs(u + 1, ul, dl); // 接到了某个队伍后面去了，修改队伍的最后最大值即可，队伍数量没有长大
else // 如果当前这些套拦截系统中无法找到某一套进行拦截
dfs(u + 1, ul + 1, dl); // 没有找到任何一个符合最后一个高度小于a[u]的队伍，只能多开一队，up数组长度长大1
up[k] = t; // 回溯
// ----------------------------------------------------------------------
// 放入下降序列
k = 0;
for (k = 0; k < dl; k++)
if (down[k] >= a[u]) break;
t = down[k]; // 保留现场
down[k] = a[u];
if (k < dl)
dfs(u + 1, ul, dl);
else
dfs(u + 1, ul, dl + 1);
down[k] = t; // 回溯
}
int main() {
while (cin >> n, n) { // 多套数据，输入n=0时停止
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
res = INF; // 防御系统的最少数量
dfs(0, 0, 0); // 开始深搜，更新res的值
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}
