AcWing 187. 导弹防御系统

$AcWing$ $187$. 导弹防御系统

一、题目描述

为了对抗附近恶意国家的威胁，$R$ 国更新了他们的导弹防御系统。

一套防御系统的导弹拦截高度 要么 一直 严格单调 上升 要么 一直 严格单调 下降。

例如，一套系统先后拦截了高度为 $3$ 和高度为 $4$ 的两发导弹，那么接下来该系统就只能拦截高度大于 $4$ 的导弹。

给定即将袭来的一系列导弹的高度，请你 求出至少需要多少套防御系统，就可以将它们全部击落。

输入格式

输入包含多组测试用例。

对于每个测试用例，第一行包含整数 $n$，表示来袭导弹数量。

第二行包含 $n$个不同的整数，表示每个导弹的高度。

当输入测试用例 $n=0$ 时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式

对于每个测试用例，输出一个占据一行的整数，表示所需的防御系统数量。

数据范围
$1≤n≤50$

输入样例：

5
3 5 2 4 1
0 

输出样例：

2

样例解释

对于给出样例，最少需要两套防御系统。

一套击落高度为 $3,4$的导弹，另一套击落高度为 $5,2,1$ 的导弹。

二、 题目解析

1、分析

导弹拦截高度要么一直上升要么一直下降。

有的导弹拦截系统可以选择上升，有的可以选择下降，不是单纯地问 所存在的序列可以划分为多少组上升子序列 的问题
狄尔沃斯定理，所以不能用之前的方法解, 本题可以上升可以下降，该定理无效。

2、思路

使用 暴搜

从问题的解出发，最终问题的答案是有许多单调上升子序列和许多单调下降子序列，对于每个数，思考分别将该数放到上升序列中还是下降序列中,不断走二叉树的不同分支

3、题解

$up[]$ 存储当前所有上升子序列的末尾元素

$down[]$ 存储当前所有下降子序列的末尾元素

$Q$:如何进行搜素

假设现在要把一个数放入一个上升序列，那么一定是所有能放入的上升序列中，最后一个元素最大的那一个。

理由：既然每个数字都要放到一个序列中，对于上升序列，肯定是目前越小越有用，既然能放入大的里面，何必浪费一个小的呢。

注意:$up[i]$按这种策略已经是排好序的了，所以只用找最先碰到的一个就行了

三、$dfs$实现代码

时间$O(n*2^n)$ 空间$O(n)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 55;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int a[N];
int up[N], down[N];
int res;

// 本题关键字：贪心+爆搜

/*
 功能：暴搜所有可能，配合剪枝，找出最少的拦截系统数量
 u:  第几个导弹
 ul: 上升拦截系统的数量，配合up  数组使用
 dl: 下降拦截系统的数量，配合down数组使用
 */
void dfs(int u, int ul, int dl) {
    if (ul + dl >= res) return; // 伟大的剪枝，不剪枝会TLE~,中途发现已经大于等于res的情况，就返回
    if (u == n) {               // 走完全程,收集答案
        res = ul + dl;          // 因为上面的剪枝，把ul+dl>=res的全干掉了，能到这里的，都是<res的，都可以用来更新答案
        return;
    }

    // 放入上升序列
    int k = 0;
    // 如果把当前导弹使用上升序列的拦截系统进行拦截，那个选择哪个系统呢？
    for (k = 0; k < ul; k++)
        if (up[k] <= a[u]) break; // up[0],up[1],up[2],... 这样套拦截系统，其数值来讲，是递减的，因为是因为不能再拦截高度更低的才创建了一套新的拦截系统
    // 找出放到哪个拦截系统上去，结果为k

    int t = up[k]; // 尝试在第k套系统进行拦截第u个导弹,那么，第u个导弹的高度就是第k套系统的新高度
    up[k] = a[u];  // 问题是，我们也不一定非得让第u个导弹使用上升序列拦截系统，也可能使用下降序列拦截系统，所以需要记录当前值，回溯后，尝试下降序列拦截

    if (k < ul)                 // 如果当前这些套拦截系统中可以找到某一套进行拦截
        dfs(u + 1, ul, dl);     // 接到了某个队伍后面去了，修改队伍的最后最大值即可，队伍数量没有长大
    else                        // 如果当前这些套拦截系统中无法找到某一套进行拦截
        dfs(u + 1, ul + 1, dl); // 没有找到任何一个符合最后一个高度小于a[u]的队伍，只能多开一队，up数组长度长大1

    up[k] = t; // 回溯

    // ----------------------------------------------------------------------

    // 放入下降序列
    k = 0;
    for (k = 0; k < dl; k++)
        if (down[k] >= a[u]) break;

    t = down[k]; // 保留现场
    down[k] = a[u];
    if (k < dl)
        dfs(u + 1, ul, dl);
    else
        dfs(u + 1, ul, dl + 1);
    down[k] = t; // 回溯
}

int main() {
    while (cin >> n, n) { // 多套数据，输入n=0时停止
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
        res = INF;    // 防御系统的最少数量
        dfs(0, 0, 0); // 开始深搜，更新res的值
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}