AcWing 1016. 最大上升子序列和
\(AcWing\) \(1016\). 最大上升子序列和
一、题目描述
一个数的序列 \(b_i\)，当 \(b_1<b_2<…<b_S\) 的时候，我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列(\(a_1,a_2,…,a_N\))，我们可以得到一些上升的子序列(\(a_{i1},a_{i2},…,a_{iK}\))，这里\(1≤i_1<i_2<…<i_K≤N\)。
比如，对于序列\((1,7,3,5,9,4,8)\)，有它的一些上升子序列，如\((1,7),(3,4,8)\)等等。
这些子序列中和最大为\(18\)，为子序列\((1,3,5,9)\)的和。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。
注意:最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列\((100,1,2,3)\)的最大上升子序列和为\(100\)，而最长上升子序列为\((1,2,3)\)。
输入格式
输入的第一行是序列的长度\(N\)。
第二行给出序列中的\(N\)个整数，这些整数的取值范围都在\(0\)到\(10000\)(可能重复)。
输出格式
输出一个整数，表示最大上升子序列和。
数据范围
\(1≤N≤1000\)
输入样例：
7
1 7 3 5 9 4 8
输出样例：
18
二、题目分析
计算最长上升子序列长度的时候，我们定义\(f[i]\)为以第\(i\)个元素结尾的最长子序列的长度，并且采用双重循环的方法，固定每一个数字\(A\)时，向前查找可以衔接到哪个数字\(B_i\)后面,如果\(A>B_i\),则尝试接在\(B_i\)后面，可以获取到一个可能的最长子序列长度\(L_i\),所有的\(L_i\) \(PK\)一下\(MAX\),就是答案。
本题不再要求计算\(LIS\)的最长长度，而是计算总和，和上面的思考方式一样，但状态表示有了变化：
状态表示
\(f[i]\):以第\(i\)个元素结尾的最大子序列和
也采用双重循环的方法，固定每一个数字\(A\)时，向前查找可以衔接到哪个数字\(B_i\)后面,如果\(A>B_i\),则尝试接在\(B_i\)后面，可以获取到一个可能的最大子序列和\(S_i\),所有的\(S_i\) \(PK\)一下\(MAX\),就是答案。
综上所述，此题与\(LIS\)还是有区别的，并不是\(LIS\)的扩展，而是\(LIS\)问题的变形，不是在求解\(LIS\)问题基础上再增加点什么就能解决，而是采用了类似的思路。\(LIS\)问题有三种解法:
- 朴素版动态规划 可以继承思想，变形解决
- 贪心+二分 已经无效，不能继承，思路不同
- 树状数组
三、\(O(n^2)\)实现代码
//运行时间： 31 ms
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 最大上升子序列和
int n;
const int N = 100010;
int a[N];
int f[N];
int res;
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = a[i]; // 最大上升子序列（个数）这里是1,此处是a[i]
for (int j = 1; j < i; j++)
// 最大上升子序列（个数）这里是加1,此处是+a[i]
if (a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + a[i]);
res = max(res, f[i]);
}
printf("%d ", res);
return 0;
}
