AcWing 125. 耍杂技的牛

$AcWing$ $125$. 耍杂技的牛

一、题目描述

农民约翰的 $N$ 头奶牛（编号为 $1..N$）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 $N$ 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为 风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是 确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的 最大值尽可能的小。

输入格式
第一行输入整数 $N$，表示奶牛数量。

接下来 $N$ 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 $i$ 行表示第 $i$ 头牛的重量 $W_i$ 以及它的强壮程度 $S_i$。

输出格式
输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。

数据范围
$1≤N≤50000$,
$1≤W_i≤10,000$,
$1≤S_i≤1,000,000,000$

输入样例：

3
10 3
2 5
3 3

输出样例：

2

二、算法思路

假设所有牛的顺序已排好，我们把第$i$头牛和第$i+1$头牛的位置互换一下,看看会发生什么情况：

牛	交换前	交换后
$i$	$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_i$$	$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j+w_{i+1}-s_i$$
$i+1$	$$\sum_{j=1}^{i}w_j-s_{i+1}$$	$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_{i+1}$$

其他牛的危险值显然不变，所以分析交换前后这两头牛中最大的危险值即可。
将上述式子进行化简，四个式子每个减去

$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j$$

得到:

牛	交换前	交换后
$i$	$-s_i$	$w_{i+1}-s_i$
$i+1$	$w_{i}-s_{i+1}$	$-s_{i+1}$

$\because$ $s,w$都是正数
$\therefore$ $w_i-s_{i+1}>-s_{i+1},w_{i+1}-s_i>-s_i$

所以，交换前后的最大值，就是在比较 $w_i-s_{i+1},w_{i+1}-s_i$：

• 当$w_i-s_{i+1}>=w_{i+1}-s_i$，即$w_i+s_i>=w_{i+1}+s_{i+1}$时，交换后更优

• 当$w_i-s_{i+1}<w_{i+1}-s_i$，即$w_i+s_i<w_{i+1}+s_{i+1}$时，交换前更优

作法: 按每头牛的 $w + s$ 进行升序排序,然后根据题意算出每头牛的危险值记录其中的最大值即可。

三、完整代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 50010;
PII cow[N];
int n;

int main() {
    cin >> n;           //奶牛的数量
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int s, w;                         //牛的重量和强壮程度
        cin >> w >> s;
        cow[i] = {w + s, w};            //之所以这样记录数据，是因为我们找到贪心的公式，按 wi+si排序
    }
    //排序
    sort(cow, cow + n);

    //最大风险值
    int res = -INF, sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int s = cow[i].first - cow[i].second, w = cow[i].second;
        res = max(res, sum - s); //res为最大风险值
        sum += w;                //sum=w1+w2+w3+...+wi
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}