AcWing 285. 没有上司的舞会
\(AcWing\) \(285\). 没有上司的舞会
一、题目描述
\(Ural\) 大学有 \(N\) 名职员，编号为 \(1\)∼\(N\)。
他们的关系就像一棵以校长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。
每个职员有一个快乐指数，用整数 \(Hi\) 给出，其中 \(1≤i≤N\)。
现在要召开一场周年庆宴会，不过，没有职员愿意和直接上司一起参会。
在满足这个条件的前提下，主办方希望邀请一部分职员参会，使得所有参会职员的快乐指数总和最大，求这个最大值。
输入格式
第一行一个整数 \(N\)。
接下来 \(N\) 行，第 \(i\) 行表示 \(i\) 号职员的快乐指数 \(Hi\)。
接下来 \(N−1\) 行，每行输入一对整数 \(L,K\)，表示 \(K\) 是 \(L\) 的直接上司。
输出格式
输出最大的快乐指数。
二、理解与分析
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看完题，知道这是一道与树相关的试题
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对于某个人来讲，他是否参加都是可以的，但他是否参加直接影响着他下属的选择
- 他参加，那么，他的直接下属不来了，下属的下属不受此影响
- 他不参加，那么，他的直接下属还是有两种选择，参加或不参加
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分析到这里，似乎这和最初的\(01\)背包是多么的相像，可以选时，有可能选择，可能放弃；不能选时，直接放弃，这不就是\(dp\)吗？
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因为上面提到了是一道与树相关的试题，在树上\(dp\)，躲不开\(dfs\)
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如果是\(dp\)的话，需要设计一下状态的计算结果数组，有人管它叫做 状态表示。那怎么表示呢？\(dp\)的话，强调的是状态转移要方便快捷，第一个维度肯定是子树的根节点，比如\(f[u]\)。
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如果只有一维就可以的话，就不用考虑增加维度了。我们来思考一下一维是否够用：一个小领导\(A\)，他要关心自己下属子树的\(Happy\)值最大，他面临两种选择
- 自己参加舞会
- 自己不参加舞会
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这两种选择，使得后继的员工选择会发生变化，导致整体的\(Happy\)值变化。\(A\)需要思考两种情况，拿到两种情况的最大值后，进行一次\(max\)运算，才是答案。
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这两种情况，可以视为两条路，分别是在\(A\)参加和不参加情况下。
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这两条路径，递推的结果汇总是不一样的，所以增加二维，变成\(f[u][0],f[u][1]\),分别
- 表示以\(u\)为根的子树，并且，不选择\(u\)的情况
- 表示以\(u\)为根的子树，并且，选择\(u\)的情况
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上面都想明白后，再考虑一些细节
- 如何建树呢？谁向谁建边呢？树一般就是树向分枝建边，也就是 一对多正确，多对一错误
- \(dfs\)需要从哪个节点开始进行搜索呢？一般是根，本题没有告诉我们几号员工是大老板，我们还需要根据入度出度的关系来决策谁是大老板。
三、动态规划分析
状态表示
\(f[u][1]\)表示以\(u\)为根节点的子树并且包括\(u\)的总快乐指数
\(f[u][0]\)表示以\(u\)为根节点并且不包括\(u\)的总快乐指数
状态计算
要想求得一棵以\(u\)为根节点的子树的最大指数分为两种：选\(u\)节点或不选\(u\)节点
记点\(u\)的子节点是\(j\)
- 1.选\(u\)，\(\large f[u][1]=\sum f[j][0]\)
- 2.不选\(u\)，\(\large f[u][0]=\sum max(f[j][1],f[j][0])\)
记根节点为\(root\)
从\(root\)开始\(dfs\)一遍即可
最后输出\(max(f[root][1],f[root][0])\)
可以参阅它的姊妹题 \(AcWing 323\) . 战略游戏
四、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 6010;
int happy[N]; // 快乐值
int in[N]; // 入度
int f[N][2]; // dp的状态结果数组
int n;
// 构建邻接表
int h[N], e[N], ne[N], idx;
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
// 通过深度优先搜索，对树进行遍历
void dfs(int u) {
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
dfs(v); // 继续探索它的孩子,它的值是由它的孩子来决定的
f[u][1] += f[v][0]; // 它选择了，它的孩子就不能再选
f[u][0] += max(f[v][0], f[v][1]); // 它不选择，那么它的每一个孩子，都是可以选择或者不选择的
}
// 不管是不是叶子结点，都会产生happy[u]的价值
f[u][1] += happy[u];
}
int main() {
// 邻接表表头初始化
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> happy[i];
// 读入树
for (int i = 1; i < n; i++) { // n-1条边
int x, y;
cin >> x >> y;
add(y, x);
in[x]++; // 记录入度，因为需要找出大boss
}
// 从1开始找根结点
int root = 1;
while (in[root]) root++; // 找到根结点,入度为0
// 递归
dfs(root);
// 取两个
printf("%d\n", max(f[root][0], f[root][1]));
return 0;
}
