AcWing 1049. 大盗阿福
\(AcWing\) \(1049\). 大盗阿福
一、题目描述
阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。
这条街上一共有 \(N\) 家店铺，每家店中都有一些现金。
阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。
作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。
他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？
输入格式
输入的第一行是一个整数 \(T\)，表示一共有 \(T\) 组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 \(N\) ，表示一共有 \(N\) 家店铺。
第二行是 \(N\) 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。
每家店铺中的现金数量均不超过\(1000\)。
输出格式
对于每组数据，输出一行。
该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。
数据范围
\(1≤T≤50,1≤N≤10^5\)
输入样例：
2
3
1 8 2
4
10 7 6 14
输出样例：
8
24
样例解释
对于第一组样例，阿福选择第\(2\)家店铺行窃，获得的现金数量为\(8\)。
对于第二组样例，阿福选择第\(1\)和\(4\)家店铺行窃，获得的现金数量为\(10+14=24\)。
二、状态机解法
我们把\(f\)数组定为二维的，即\(f[i][j]\)
我们用数组储存两种情况：偷与不偷。
\(f[i][0]\) 代表的是不偷第\(i\)家店铺能得到的最多现金数量；
\(f[i][1]\) 代表的是偷第\(i\)家店铺能得到的最多现金数量。
则就会出现三种情况：
解释：
图中红色的线是可行方案，你可以不抢第\(i−1\)家，也不抢第\(i\)家；
你可以不抢第\(i−1\)家，但抢第\(i\)家。
你可以抢第\(i−1\)家，但不抢第\(i\)家；
那么我们就可以得出状态转移方程了：
\(f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);\)
\(f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int T; //T组数据
int n; //每一组数据的个数n
int a[N]; //每个商店的金钱数量
/**
f[i][0] 代表的是不偷第i家店铺能得到的最多现金数量；
f[i][1] 代表的是偷第i家店铺能得到的最多现金数量。
*/
int f[N][2];
/**
状态机 O(n)
把一个过程用一种确定的状态描述了出来
如 f[i][0] 表示没有偷第 i 个商店, f[i][1] 表示偷了第 i 个商店
则 f[i][0] 的入边（即过程）有两条 1. 偷了第 i - 1 个商店， 2. 没偷第 i - 1 个商店
而 f[i][1] 的入边仅有一条，即 没偷第 i - 1 个商店。
*/
//状态机解法
int main() {
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d", &n);
memset(f, 0, sizeof f);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
//初始化
f[1][0] = 0, f[1][1] = a[1];
//逐个把商店加入
for (int i = 2; i <= n; i++) {
//不偷i号商店,获利取原来前面i-1号商店决策完的最大值
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
//偷i号商店，获利取不偷i-1号商店的决策值，再加上当前商店的金额
f[i][1] = f[i - 1][0] + a[i];
}
//最终的结果二选一
printf("%d\n", max(f[n][0], f[n][1]));
}
return 0;
}
三、线性\(DP\)解法
我们可以定义一个数组，为\(f[i]\)。
\(f[i]\) 表示抢劫前\(i\)家能得到的最多现金数量。
那么我们前\(i\)家的抢劫结果就有两种情况：
第一种情况：不偷第\(i\)家店铺
那么\(f[i]=f[i−1]\);
第二种情况：偷第\(i\)家店铺
那么\(f[i]=f[i−2]+w[i]\)
(\(w[i]\) 表示第\(i\)家店铺总共的现金)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int f[N];//DP数组，抢前i个店铺可以获取到的最大价值是多少
int a[N];//抢劫第i个店铺可以获取到的利益w[i]
//线性DP解法
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d", &n);
memset(f, 0, sizeof f);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
//base case
f[0] = 0; //还没开始抢，那么利益必须是0
f[1] = a[1]; //抢了第一个，只能是利益为w[1]
//从第二个开始，有递推关系存在,以抢与不抢第i个为理由进行分类
for (int i = 2; i <= n; i++)
//f[i-1]表示不抢第i个，那么利益就是f[i-1]
//如果抢了第i个，那么获取到w[i]的利益，同时，前面的只能依赖于f[i-2]
//max表示决策，到底抢两个中的哪个合适呢？
f[i] = max(f[i - 1], f[i - 2] + a[i]);
//输出结果
printf("%d\n", f[n]);
}
return 0;
}
