AcWing 1049. 大盗阿福

$AcWing$ $1049$. 大盗阿福

一、题目描述

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 $N$ 家店铺，每家店中都有一些现金。

阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。

他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？

输入格式
输入的第一行是一个整数 $T$，表示一共有 $T$ 组数据。

接下来的每组数据，第一行是一个整数 $N$ ，表示一共有 $N$ 家店铺。

第二行是 $N$ 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。

每家店铺中的现金数量均不超过$1000$。

输出格式
对于每组数据，输出一行。

该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

数据范围
$1≤T≤50,1≤N≤10^5$

输入样例：

2
3
1 8 2
4
10 7 6 14

输出样例：

8
24

样例解释
对于第一组样例，阿福选择第$2$家店铺行窃，获得的现金数量为$8$。

对于第二组样例，阿福选择第$1$和$4$家店铺行窃，获得的现金数量为$10+14=24$。

二、状态机解法

我们把$f$数组定为二维的，即$f[i][j]$

我们用数组储存两种情况：偷与不偷。

$f[i][0]$ 代表的是不偷第$i$家店铺能得到的最多现金数量；

$f[i][1]$ 代表的是偷第$i$家店铺能得到的最多现金数量。

则就会出现三种情况：

解释：

图中红色的线是可行方案，你可以不抢第$i−1$家，也不抢第$i$家；

你可以不抢第$i−1$家，但抢第$i$家。

你可以抢第$i−1$家，但不抢第$i$家；

那么我们就可以得出状态转移方程了：

$f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);$

$f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int T;          //T组数据
int n;          //每一组数据的个数n
int a[N];       //每个商店的金钱数量
/**
f[i][0]  代表的是不偷第i家店铺能得到的最多现金数量；
f[i][1]  代表的是偷第i家店铺能得到的最多现金数量。
 */
int f[N][2];
/**
 状态机 O(n)
把一个过程用一种确定的状态描述了出来
如 f[i][0] 表示没有偷第 i 个商店, f[i][1] 表示偷了第 i 个商店
则 f[i][0] 的入边（即过程）有两条 1. 偷了第 i - 1 个商店， 2. 没偷第 i - 1 个商店
而 f[i][1] 的入边仅有一条，即 没偷第 i - 1 个商店。
 */
//状态机解法
int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        memset(f, 0, sizeof f);
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        //初始化
        f[1][0] = 0, f[1][1] = a[1];
        //逐个把商店加入
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            //不偷i号商店,获利取原来前面i-1号商店决策完的最大值
            f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            //偷i号商店，获利取不偷i-1号商店的决策值，再加上当前商店的金额
            f[i][1] = f[i - 1][0] + a[i];
        }
        //最终的结果二选一
        printf("%d\n", max(f[n][0], f[n][1]));
    }
    return 0;
}

三、线性$DP$解法

我们可以定义一个数组，为$f[i]$。

$f[i]$ 表示抢劫前$i$家能得到的最多现金数量。

那么我们前$i$家的抢劫结果就有两种情况：

第一种情况：不偷第$i$家店铺

那么$f[i]=f[i−1]$;

第二种情况：偷第$i$家店铺

那么$f[i]=f[i−2]+w[i]$

($w[i]$ 表示第$i$家店铺总共的现金)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n;
int f[N];//DP数组，抢前i个店铺可以获取到的最大价值是多少
int a[N];//抢劫第i个店铺可以获取到的利益w[i]
//线性DP解法
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        memset(f, 0, sizeof f);
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        //base case
        f[0] = 0;       //还没开始抢，那么利益必须是0
        f[1] = a[1];    //抢了第一个，只能是利益为w[1]
        //从第二个开始，有递推关系存在,以抢与不抢第i个为理由进行分类
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            //f[i-1]表示不抢第i个，那么利益就是f[i-1]
            //如果抢了第i个，那么获取到w[i]的利益，同时，前面的只能依赖于f[i-2]
            //max表示决策，到底抢两个中的哪个合适呢？
            f[i] = max(f[i - 1], f[i - 2] + a[i]);
        //输出结果
        printf("%d\n", f[n]);
    }
    return 0;
}