状态压缩DP专题
状态压缩动态规划(简称状压\(dp\))是另一类非常典型的动态规划,通常使用在\(NP\)问题的小规模求解中,虽然是指数级别的复杂度,但速度比搜索快,其思想非常值得借鉴。
一、位运算相关知识
为了更好的理解状压\(dp\),首先介绍位运算相关的知识。
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&符号,\(x\&y\),会将两个十进制数在二进制下进行与运算,然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) & \(2(10)=2(10)\)。
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|符号,\(x\)|\(y\),会将两个十进制数在二进制下进行或运算,然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) | \(2(10)=3(11)\)。
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\(\wedge\)符号,\(x\)^\(y\),会将两个十进制数在二进制下进行异或运算,然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) ^ \(2(10)=1(01)\)。
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<<符号,左移操作,\(x<<2\),将\(x\)在二进制下的每一位向左移动两位,最右边用\(0\)填充,\(x<<2\)相当于让\(x\)乘以\(4\)。相应的,’\(>>\)’是右移操作,\(x>>1\)相当于给\(x/2\),去掉\(x\)二进制下的最有一位。
二、常见应用
这四种运算在状压\(dp\)中有着广泛的应用,常见的应用如下:
1.判断一个数字x
二进制下第i
位是不是等于1
。
if(((1<<(i-1))&x)> 0){
}
将\(1\)左移\(i-1\)位,相当于制造了一个只有第\(i\)位上是\(1\),其他位上都是\(0\)的二进制数。然后与\(x\)做与运算,如果结果>\(0\),说明\(x\)第\(i\)位上是\(1\),反之则是\(0\)。
2.将一个数字x
二进制下第i
位更改成1
。
x = x | (1<<(i-1))
3.把一个数字二进制下最靠右的第一个1
去掉。
x=x & (x-1)
4.判断一个数字的二进制下是不是有连续的1
bool check(int x) {
return !(x & x >> 1);
}
三、获取一个数字的二进制表示中有多少个数字\(1\)
1、枚举\(32\)位判断
传统的整数按位向右移动,效率稍差,贵在好理解
int f1(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < 32; i++)
if ((n >> i) & 1) res++;
return res;
}
2、用位运算\(x \& (x-1)\),每次干掉最后一个\(1\)
使用 \(x \& (x-1)\)
假如输入 \(n = 13\) ,\(13\) 的二进制 \(1101\)
\(1101 —— n\)
\(1100 —— n-1\)
\(1100 —— n \& n-1\) 再赋给 \(n\)
\(1011 —— n-1\)
\(1000 —— n \& n-1\) 再赋给 \(n\)
\(0111 —— n-1\)
\(0000 —— n \& n-1\) 再赋给 \(n\)
每次去掉一个 \(1\),执行几次就有几个 \(1\) ,每次把二进制数的最右边的\(1\)去掉,直到为零停止
int f2(int x) {
int res = 0;
while (x) {
x = x & (x - 1);
res++;
}
return res;
}
3、位运算\(lowbit\),每次减掉获得的值
\(lowbit\)这个函数的功能就是求某一个数的二进制表示中最低的一位\(1\),举个例子,\(x = 6\),它的二进制为\(110\),那么\(lowbit(x)\)就返回\(2\),因为最后一位\(1\)表示\(2\)。
#define lowbit(x) (x & -x)
int f3(int x) {
int res = 0;
while (x) {
x -= lowbit(x);
res++;
}
return res;
}
4、完整测试代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x & -x)
// 1、传统的整数按位向右移动,效率稍差,贵在好理解
int f1(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < 32; i++)
if ((n >> i) & 1) res++;
return res;
}
// 2、使用 x & (x-1)
int f2(int x) {
int res = 0;
while (x) {
x = x & (x - 1);
res++;
}
return res;
}
// 3、lowbit函数法
int f3(int x) {
int res = 0;
while (x) {
x -= lowbit(x);
res++;
}
return res;
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", f1(n));
printf("%d\n", f2(n));
printf("%d\n", f3(n));
return 0;
}