状态压缩DP专题

状态压缩动态规划（简称状压\(dp\)）是另一类非常典型的动态规划，通常使用在\(NP\)问题的小规模求解中，虽然是指数级别的复杂度，但速度比搜索快，其思想非常值得借鉴。

一、位运算相关知识

为了更好的理解状压\(dp\)，首先介绍位运算相关的知识。

• &符号，\(x\&y\)，会将两个十进制数在二进制下进行与运算，然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) & \(2(10)=2(10)\)。

• |符号，\(x\)|\(y\)，会将两个十进制数在二进制下进行或运算，然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) | \(2(10)=3(11)\)。

• \(\wedge\)符号，\(x\)^\(y\)，会将两个十进制数在二进制下进行异或运算，然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) ^ \(2(10)=1(01)\)。

• <<符号，左移操作，\(x<<2\)，将\(x\)在二进制下的每一位向左移动两位，最右边用\(0\)填充，\(x<<2\)相当于让\(x\)乘以\(4\)。相应的，’\(>>\)’是右移操作，\(x>>1\)相当于给\(x/2\)，去掉\(x\)二进制下的最有一位。

二、常见应用

这四种运算在状压\(dp\)中有着广泛的应用，常见的应用如下：

1.判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。

if(((1<<(i-1))&x)> 0){

}

将\(1\)左移\(i-1\)位，相当于制造了一个只有第\(i\)位上是\(1\)，其他位上都是\(0\)的二进制数。然后与\(x\)做与运算，如果结果>\(0\)，说明\(x\)第\(i\)位上是\(1\)，反之则是\(0\)。

2.将一个数字x二进制下第i位更改成1。

x = x | (1<<(i-1))

3.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。

 x=x & (x-1)

4.判断一个数字的二进制下是不是有连续的1

bool check(int x) {
    return !(x & x >> 1);
}

三、获取一个数字的二进制表示中有多少个数字\(1\)

1、枚举\(32\)位判断

传统的整数按位向右移动，效率稍差，贵在好理解

int f1(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 32; i++)
        if ((n >> i) & 1) res++;
    return res;
}

2、用位运算\(x \& (x-1)\)，每次干掉最后一个\(1\)

使用 \(x \& (x-1)\)
假如输入 \(n = 13\) ，\(13\) 的二进制 \(1101\)
\(1101 —— n\)
\(1100 —— n-1\)

\(1100 —— n \& n-1\) 再赋给 \(n\)
\(1011 —— n-1\)

\(1000 —— n \& n-1\) 再赋给 \(n\)
\(0111 —— n-1\)
\(0000 —— n \& n-1\) 再赋给 \(n\)

每次去掉一个 \(1\)，执行几次就有几个 \(1\) ，每次把二进制数的最右边的\(1\)去掉，直到为零停止

int f2(int x) {
    int res = 0;
    while (x) {
        x = x & (x - 1);
        res++;
    }
    return res;
}

3、位运算\(lowbit\)，每次减掉获得的值

\(lowbit\)这个函数的功能就是求某一个数的二进制表示中最低的一位\(1\)，举个例子，\(x = 6\)，它的二进制为\(110\)，那么\(lowbit(x)\)就返回\(2\)，因为最后一位\(1\)表示\(2\)。

#define lowbit(x) (x & -x)

int f3(int x) {
    int res = 0;
    while (x) {
        x -= lowbit(x);
        res++;
    }
    return res;
}

4、完整测试代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define lowbit(x) (x & -x)

// 1、传统的整数按位向右移动，效率稍差，贵在好理解
int f1(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 32; i++)
        if ((n >> i) & 1) res++;
    return res;
}

// 2、使用 x & (x-1)
int f2(int x) {
    int res = 0;
    while (x) {
        x = x & (x - 1);
        res++;
    }
    return res;
}

// 3、lowbit函数法
int f3(int x) {
    int res = 0;
    while (x) {
        x -= lowbit(x);
        res++;
    }
    return res;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", f1(n));
    printf("%d\n", f2(n));
    printf("%d\n", f3(n));
    return 0;
}