AcWing 104. 货仓选址

\(AcWing\) \(104\). 货仓选址

一、题目描述

在一条数轴上有 \(N\) 家商店，它们的坐标分别为 \(A_1∼A_N\)。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得 货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式
第一行输入整数 \(N\)。

第二行 \(N\) 个整数 \(A_1∼A_N\)。

输出格式
输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围
\(1≤N≤100000,0≤A_i≤40000\)

输入样例：

4
6 2 9 1

输出样例：

12

二、解题思路

假设仓库建在最优位置（必需有这个前提）时，左边有\(a\)个商店，那么右边就有\(n-a\)个商店，左边商店距离仓库的位置之和为\(p\)，右边的商店距离仓库的位置之和为\(q\),可得\(p+q\)为所有商店到仓库的最小距离之和

现在将仓库向左移\(x\)，可得
\(\large p-ax+q+(n-a)x \\ =p-ax+q+nx-ax \\ =p+q+(n-2a)x\)

因为仓库之前是设在最优位置，所以\(n-2a \geq 0\),(因为\(p+q\)为最小值，那么\((n-2a)x\)肯定不能小于\(0\),)如果不满足这个条件，那么就和我们仓库建在最优位置的条件产生冲突，即\(p+q\) 就不是我们的所有商店到仓库的距离之和最小了。

此时，当\(\large \displaystyle a=\frac{n}{2}\)时,得到最优答案。

结论

• 下标从\(0\)开始:获取中位数：\(\large \displaystyle a[n/2]\)
• 下标从\(1\)开始:获取中位数：\(\large \displaystyle a[n/2+1]\)

总结

中位数，不一定非得建设到绝对的平均数，在中间范围内的任何一个点都是一样的。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 100010;
int n, res;
int a[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    sort(a, a + n); // 注意下标从0开始

    for (int i = 0; i < n; i++) res += abs(a[i] - a[n / 2]);
    printf("%d", res);
    return 0;
}