AcWing 902. 最短编辑距离

$AcWing$ $902$. 最短编辑距离

一、题目描述

给定两个字符串 $A$ 和 $B$，现在要将 $A$ 经过若干操作变为 $B$，可进行的操作有：

1. 删除–将字符串 $A$ 中的某个字符删除。
2. 插入–在字符串 $A$ 的某个位置插入某个字符。
3. 替换–将字符串 $A$ 中的某个字符替换为另一个字符。

现在请你求出，将 $A$ 变为 $B$ 至少需要进行多少次操作。

输入格式
第一行包含整数 $n$，表示字符串 $A$ 的长度。

第二行包含一个长度为 $n$ 的字符串 $A$。

第三行包含整数 $m$，表示字符串 $B$ 的长度。

第四行包含一个长度为 $m$ 的字符串 B。

字符串中均只包含大小写字母。

输出格式
输出一个整数，表示最少操作次数。

数据范围
$1≤n,m≤1000$

输入样例：

10 
AGTCTGACGC
11 
AGTAAGTAGGC

输出样例：

4

二、解题思路

与$LCS$（最长公共子序列）问题的状态表示是很接近的。

状态表示

$f[i,j]$：$a[1..i]$变成$b[1..j]$的操作步数。

现在要求的是：两个字符串的最短编辑距离，由于我们不知道最短编辑距离是多少，就希望知道 当前状态是从哪些状态转移过来，前面的状态可以通过 增加、删除、修改转移过来 。

属性

操作数的最小值，$min$。

状态计算

按题意划分为删除，增加，修改,相等四种情况

• 删除：把$a[i]$删掉之后$a[1\sim i]$和$b[1\sim j]$匹配.所以没删除之前，就有$a[1 \sim i-1]$与$b[1 \sim j]$匹配

$$\large f[i][j]=f[i-1][j] + 1$$

• 插入：插入之后$a[i]$与$b[j]$完全匹配，所以插入的就是$b[j]$,那填之前$a[1\sim i]$和$b[1\sim (j-1)]$匹配

$$\large f[i][j]=f[i][j-1] + 1$$

• 替换：把$a[i]$改成$b[j]$之后想要$a[1\sim i]$与$b[1\sim j]$匹配,那么修改这一位之前，$a[1\sim (i-1)]$应该与$b[1\sim (j-1)]$匹配

$$\large f[i][j]=f[i-1][j-1] + 1$$

• 相等：如果本来$a[i]$与$b[j]$这一位上就相等，那么不用改，即

$$\large f[i][j]=f[i-1][j-1]$$

结论

$$f[i][j] = min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1,f[i-1][j-1]+(a[i] == b[j]?0:1))$$

初始化

细节问题：初始化怎么搞

先考虑有哪些初始化嘛

• $f[0][i]$:如果$a$初始长度就是$0$，那么只能用插入操作让它变成$b$

• $f[i][0]$:如果$b$的长度是$0$，那么$a$只能用删除操作让它变成$b$

• $f[i][j]$ = $INF$ 其它初始化为$INF$

二、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

// 最短编辑距离
int main() {
    cin >> n >> a + 1 >> m >> b + 1;

    // 初始化
    for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = i;
    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            // 增加和删除
            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
            // 修改
            if (a[i] == b[j])
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
            else // 相等
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}