AcWing 902. 最短编辑距离
\(AcWing\) \(902\). 最短编辑距离
一、题目描述
给定两个字符串 \(A\) 和 \(B\)，现在要将 \(A\) 经过若干操作变为 \(B\)，可进行的操作有：
- 删除–将字符串 \(A\) 中的某个字符删除。
- 插入–在字符串 \(A\) 的某个位置插入某个字符。
- 替换–将字符串 \(A\) 中的某个字符替换为另一个字符。
现在请你求出，将 \(A\) 变为 \(B\) 至少需要进行多少次操作。
输入格式
第一行包含整数 \(n\)，表示字符串 \(A\) 的长度。
第二行包含一个长度为 \(n\) 的字符串 \(A\)。
第三行包含整数 \(m\)，表示字符串 \(B\) 的长度。
第四行包含一个长度为 \(m\) 的字符串 B。
字符串中均只包含大小写字母。
输出格式
输出一个整数，表示最少操作次数。
数据范围
\(1≤n,m≤1000\)
输入样例：
10
AGTCTGACGC
11
AGTAAGTAGGC
输出样例：
4
二、解题思路
与\(LCS\)（最长公共子序列）问题的状态表示是很接近的。
状态表示
\(f[i,j]\)：\(a[1..i]\)变成\(b[1..j]\)的操作步数。
现在要求的是：两个字符串的最短编辑距离，由于我们不知道最短编辑距离是多少，就希望知道 当前状态是从哪些状态转移过来，前面的状态可以通过 增加、删除、修改转移过来 。
属性
操作数的最小值，\(min\)。
状态计算
按题意划分为删除，增加，修改,相等四种情况
- 删除：把\(a[i]\)删掉之后\(a[1\sim i]\)和\(b[1\sim j]\)匹配.所以没删除之前，就有\(a[1 \sim i-1]\)与\(b[1 \sim j]\)匹配
\[\large f[i][j]=f[i-1][j] + 1
\]
- 插入：插入之后\(a[i]\)与\(b[j]\)完全匹配，所以插入的就是\(b[j]\),那填之前\(a[1\sim i]\)和\(b[1\sim (j-1)]\)匹配
\[\large f[i][j]=f[i][j-1] + 1
\]
- 替换：把\(a[i]\)改成\(b[j]\)之后想要\(a[1\sim i]\)与\(b[1\sim j]\)匹配,那么修改这一位之前，\(a[1\sim (i-1)]\)应该与\(b[1\sim (j-1)]\)匹配
\[\large f[i][j]=f[i-1][j-1] + 1
\]
- 相等：如果本来\(a[i]\)与\(b[j]\)这一位上就相等，那么不用改，即
\[\large f[i][j]=f[i-1][j-1]
\]
结论
\[f[i][j] = min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1,f[i-1][j-1]+(a[i] == b[j]?0:1))
\]
初始化
细节问题：初始化怎么搞
先考虑有哪些初始化嘛
-
\(f[0][i]\):如果\(a\)初始长度就是\(0\)，那么只能用插入操作让它变成\(b\)
-
\(f[i][0]\):如果\(b\)的长度是\(0\)，那么\(a\)只能用删除操作让它变成\(b\)
-
\(f[i][j]\) = \(INF\) 其它初始化为\(INF\)
二、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
// 最短编辑距离
int main() {
cin >> n >> a + 1 >> m >> b + 1;
// 初始化
for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = i;
for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++) {
// 增加和删除
f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
// 修改
if (a[i] == b[j])
f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
else // 相等
f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
