AcWing 897. 最长公共子序列

\(AcWing\) \(897\). 最长公共子序列

一、题目描述

给定两个长度分别为 \(N\) 和 \(M\) 的字符串 \(A\) 和 \(B\)，求既是 \(A\) 的子序列又是 \(B\)的子序列的字符串 长度最长 是多少。

输入格式
第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\)。

第二行包含一个长度为 \(N\) 的字符串，表示字符串 \(A\)。

第三行包含一个长度为 \(M\) 的字符串，表示字符串 \(B\)。

字符串均由小写字母构成。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
\(1≤N,M≤1000\)

输入样例：

4 5
acbd
abedc

输出样例：

3

二、\(LCS\)问题分析

状态表示
定义\(f[i][j]\)是\(a[]\)以\(i\)结尾，\(b[]\)以\(j\)结尾的最长公共子序列长度

说明：没有说\(a[i]\)或者\(b[j]\)一定要出现在最长公共子序列当中！这个最长公共子序列，可能是\(a[]\)和\(b[]\)的一些前序组成的，\(a[i],b[j]\)也可能没有对结果产生贡献。

• 当\(a[i]==b[j]\)时，看一下两个字符串的前序，发现在少了\(a[i],b[j]\)后，转化为子问题\(f[i-1][j-1]\),问题转化为$$f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$$

• 当\(a[i] \neq b[j]\)时：

  • 如果\(a[i]\)不产生贡献，那么把它干掉\(f[i-1][j]\)
  • 如果\(b[j]\)不产生贡献，那么把它干掉\(f[i][j-1]\)
  • 如果两个都没有贡献，那么就是\(f[i-1][j-1]\)

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main() {
    // 递推式出现f[i-1][j-1]，如果i,j从0开始会出现负值，所以下标从1开始
    cin >> n >> m >> a + 1 >> b + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
        }
    printf("%d", f[n][m]);
    return 0;
}