AcWing 895. 最长上升子序列
\(AcWing\) \(895\). 最长上升子序列
一、题目描述
给定一个长度为 \(N\) 的数列,求数值 严格单调递增的子序列 的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 \(N\)。
第二行包含 \(N\) 个整数,表示完整序列。
输出格式
输出一个整数,表示最大长度。
数据范围
\(1≤N≤1000,−10^9\)≤数列中的数≤\(10^9\)
输入样例:
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例:
4
二、动态规划
状态表示
\(f[i]\)表示从第一个数字开始算,以\(a[i]\)结尾的最长的上升序列长度。(以\(a[i]\)结尾的所有上升序列中属性为最长的那一个)
状态计算
\[\large \left\{\begin{array}{l}
f[i] =1 & 默认值,前面没有比i小的,以a[i]结尾的最长个数是1 \\
f[i] = max(f[i], f[j] + 1) & 0 \le j<i \ \& \ a[j]<a[i]
\end{array}\right.
\]
时间复杂度
\(O(n^2)\)
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N], f[N];
int res;
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++)
if (a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
res = max(res, f[i]);
}
printf("%d", res);
return 0;
}
四、输出路径
/*
测试用例:
7
3 1 2 1 8 5 6
答案:
4
1 2 5 6
*/
额外记录的信息
-
\(pos\):记录最大\(LIS\)值出现时的数组下标
pos
,它是最大值的起始位置,一会要倒序从它开始,一直到\(1\),通过递推前序的办法不断的向前倒序查找来源路径。 -
\(pre[i]\):原始数组的每一个数字,都配套一个\(pre[i]\),它和\(f[i]\)是成对出现的
- \(f[i]\):表示从第一个数字开始算,以\(w[i]\)结尾的最长的上升序列长度
- \(pre[i]\):它能获取到的\(f[i]\)这个最大长度时,是从哪个前序位置转移而来,也就是借了谁的光,依赖于谁过来的。
- 边界:最左侧第\(1\)个没有借任何人的光,初始默认值是\(0\),这也是递归的终止条件。
输出路径代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, a[N];
int f[N];
int res, pos; // LIS最大长度 pos:最大长度是哪个下标数字提供
int pre[N]; // 记录转移的前序关系
// ① 循环+vector打印路径
void print(int k) {
vector<int> path; // 因为查找的关系是逆序的,需要用一个向量数组把这个逆序反过来,才能输出
while (k) {
path.push_back(a[k]);
k = pre[k];
}
// 倒序输出LIS序列
for (int i = path.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d ", path[i]);
}
// ② 递归打印路径
void out(int k) {
if (pre[k]) out(pre[k]); // 因为最前面的第1号,它的前序
printf("%d ", a[k]);
}
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++)
if (a[i] > a[j] && f[i] <= f[j]) {
f[i] = f[j] + 1;
pre[i] = j; // f[i]的前序是f[j]
}
// 更新最大值
if (f[i] > res) {
res = f[i]; // 记录LIS最大值
pos = i; // 记录LIS最大值时相应的数组下标i
}
}
// 输出LIS最大长度
printf("%d\n", res);
// 循环
print(pos);
puts("");
// 递归
out(pos);
return 0;
}